0 Copy

ავტორი: იოანე შენგელია

ჩვეულებრივ, როდესაც სტატიას წერენ ხოლმე რაიმე თემაზე, აკეთებენ მცირე შესავალს.. მაგრამ, მე არ დავიწყებ იმაზე საუბარს, რომ სიმეტრიის თემა ყოველთვის აქტუალური იყო ხელოვნებაში, მეცნიერებაში, ბუნებაში, და ა.შ. მე პირდაპირ გადავალ სიმეტრიის თანამედროვე მათემატიკურ გაგებამდე. ანუ იმაზე, თუ როგორ აღწერს სიმეტრიას თანამედროვე მათემატიკა (ფორმულების გარეშე, ცხადია).

გარდა იმისა, რომ სიმეტრია ლამაზი თემაა, მას თავისებური გამოყენებაც აქვს თეორიულ ფიზიკაში (და არა მარტო).. კერძოდ, გსმენიათ ალბათ სკოლის ფიზიკის კურსიდან შენახვის კანონებზე - ენერგიის შენახვა, იმპულსის შენახვა, მასის შენახვა, და ა.შ. აღმოჩნდა, რომ ეს შენახვის კანონები პირდაპირ კავშირში არიან ფიზიკური პროცესების სიმეტრიებთან.

ეს ძალიან მომხიბვლელი ფაქტია, რომ ფიზიკის ფუნდამენტალური კანონების მიღება შეიძლება სიმეტრიის პრინციპებიდან. თუმცა, ეს წინადადება ყველამ თავისებურად შეიძლება გაიგოს, ანუ თავისებური ინტერპრეტაციით. რეალურად, რომელ კანონებზეა საუბარი და როგორი სახის სიმეტრიებზე, ეს დეტალები ძალიან მნიშვნელოვანია.

შენიშვნა: სტატია ძირითადად ეძღვნება არა ფიზიკას, არამედ სიმეტრიის არსს და მის აღწერას თანამედროვე აბსტრაქტული მეთოდით. ეს უკანასკნელი გამოიყენება ფიზიკაში, და სტატიის ბოლოსკენ ამასთან დაკავშირებით მცირედ ვისაუბრებ.

1. „ექსპერიმენტული“ მსჯელობა

დავიწყოთ ყველაზე მარტივი მაგალითებით. ავიღოთ პეპელა. ვფიქრობ, ყველანი ვთანხმდებით იმაზე, რომ პეპელას აქვს გარკვეული სიმეტრია. თუმცა, ბუნდოვნების გარეშე, ჩვენ უნდა ზუსტად ჩამოვაყალიბოთ რა სახის სიმეტრია აქვს პეპელას: ეს არის არეკვლითი სიმეტრია ვერტიკალური ღერძის მიმართ (მართალია, იდეალურად სიმეტრიული ფიგურები ბუნებაში ალბათ არ არსებობს, მაგრამ ჩავთვალოთ, რომ პეპელა იდეალურად სიმეტრიულია).

რას ნიშნავს, რომ არეკვლითი სიმეტრია აქვს პეპელას? იმას, რომ თუ ჩვენ მოვახდენთ არეკვლას, ანუ ვერტიკალური ღერძის მარჯვენა მხარეს „გადავსვამთ“ მარცხნივ და პირიქთ, მაშინ ამით პეპელა არ შეიცვლება.

ესეიგი, პეპელაში სიმეტრიის არსებობა გულისხმობს იმას, რომ არეკვლის შემთხვევაში პეპლის სახე არ შეიცვლება.

კარგი, დაუშვათ მოვახდინეთ არეკვლა და ამით პეპელა არ შეცვლილა (სიმეტრიის გამო). ახლა რა? ახლა ის, რომ ჩვენს წინაშეა კვლავ იგივე პეპელა, იმავე სიმეტრიით, და შეგვიძლია მოვახდინოთ საპირისპირო არეკვლა და თავდაპირველ მდგომარეობაში დავაბრუნოთ პეპელა.

ესეიგი რა გამოდის? არეკვლა და მისი შებრუნებული არეკვლა პეპელას აბრუნებს თავდაპირველ მდგომარეობაში. არეკვლაც და მისი შებრუნებული არეკვლაც - ორივე არეკვლაა და არ აქვს თანმიმდევრობას მნიშვნელობა. თუ ორივე შესრულდა, მიუხედავად თანმიმდევრობისა, ეს კომბინაცია პეპელას აბრუნებს თავდაპირველ მდგომარეობაში.

ეს არის კარგი მაგალითი იმისა, რომ სიმეტრიულ გარდაქმნას (ამ შემთხვევაში არეკვლას) აქვს შებრუნებული გარდაქმნა, რომელიც ასევე სიმეტრიულია, და რომელთა კომბინაციაც (კომპოზიცია) ობიექტს აბრუნებს საკუთარ პირვანდელ სახეში.

განვიხილოთ სხვა მაგალითი: წრეწირი. დავაფიქსიროთ მისი ცენტრი და დავიწყოთ წრეწირის ბრუნვა. ცხადია, როგორი კუთხითაც არ უნდა შევაბრუნოთ, წრეწირი მაინც წრეწირად დარჩება და არ შეიცვლება. მაშასადამე, წრეწირს აქვს ბრუნვითი სიმეტრია.

sldkn

არსებობს თუ არა რაიმე ანალოგია პეპლის მაგალითთან?

დიახ არსებობს. მაგალითად ის, რომ ნებისმიერი ბრუნვისთვის არსებობს შებრუნებული ბრუნვაც - მაგალითად მობრუნება 50 გრადუსით და მობრუნება -50 გრადუსით (ანუ პირიქით). მეტიც, როგორც პეპლის შემთხვევაში, ამ ურთიერთშებრუნებული ბრუნვების კომპოზიცია გვაძლევს საბოლოოდ 0 გრადუსით ბრუნვას, ანუ წრეწირს აბრუნებს საკუთარ პირვანდელ მდგომარეობაში და არ აქვს მნიშვნელობა ჯერ რომელი მხრიდან შევაბრუნებთ (ანუ თანმიმდევრობას), თუ ორივე ბრუნვა განხორციელდა, მაშინ 0 გრადუსით ბრუნვას ვიღებთ, ანუ წრეწირის თავდაპირველ მდგომარეობაში დაბრუნებას.

აი ასეთი ანალოგია არსებობს წრეწირსა და პეპელას შორის. თუმცა, არის რაღაც წრეწირის სიმეტრიაში ისეთი, რაც პეპელას არ აქვს.. კერძოდ, პეპლის შემთხვევაში სიმეტრიულ გარდაქმნად ითვლებოდა არეკვლა და სულ არსებობდა ორი არეკვლა, რომლებიც ერთმანეთის შებრუნებულნი იყვნენ.

წრეწირის შემთხვევაში კი არსებობს ბრუნვის უსასრულო ვარიანტი, რადგან წრეწირის ბრუნვა შეგვიძლია განვახორციელოთ ნებისმიერი კუთხით: 30, 59, 67, .. ბრუნვის კუთხე ვარირებს მთელს უწყვეტ დიაპაზონში. მაგრამ, შებრუნებული ბრუნვა ყოველი კუთხისთვის არსებობს. მაგალითად, ბრუნვა 50 გრადუსით და ბრუნვა -50 გრადუსით. ბრუნვა 34 გრადუსით და ბრუნვა -34 გრადუსით.

ურთიერთშებრუნებულ ბრუნვათა კომპოზიცია კი ყოველთვის იძლევა 0 გრადუსს, ანუ თავის თავში ტოვებს წრეწირს. პეპელას ურთიერთშებრუნებულ არეკვლათა მხოლოდ ერთი წყვილი აქვს, წრეწირს კი იმდენი ურთიერთშებრუნებულ ბრუნვათა წყვილი აქვს, რამდენ კუთხესაც მოიფიქრებთ.

არის კიდევ ერთი დამატებითი თვისება, რაც წრეწირის სიმეტრიას აქვს, პეპლისგან განსხვავებით. კერძოდ, ორი ბრუნვის კომბინაცია (კომპოზიცია) კვლავაც ბრუნვაა რაიმე სხვა კუთხით. მაგალითად, ჯერ მოაბრუნეთ წრეწირი 50 გრადუსით და შემდეგ 30 გრადუსით. მაშინ მიიღებთ ბრუნვას 80 გრადუსით. ან, გნებავთ ჯერ მოაბრუნეთ 40 გრადუსით და მერე -60 გრადუსით. მაშინ მიიღებთ ბრუნვას -20 გრადუსით.

ესეიგი, ბრუნვათა ნებისმიერი კომბინაცია (კომპოზიცია) კვალავაც ბრუნვაა. და ეს განზოგადდება ნებისმიერ რაოდენობა ბრუნვებზე, რომლებიც თანმიმდევრულად ჩატარდება. პეპლის შემთხვევაში არ გვაქვს ასეთი სიმდიდრე, რადგან მას მხოლოდ ერთი წყვილი არეკვლა აქვს, მაგრამ წრეწირში ნებისმიერი ორი კუთხით მობრუნების კომპოზიცია რაიმე მესამე კუთხით მორბუნებას ნიშნავს.

ასეთნაირად, წრეწირის მაგალითი უფრო კარგია სიმეტრიის თვალსაჩინოებისთვის. მაგრამ, სანამ სიმეტრიის ზოგად განმარტებამდე მივალთ, მანამ უნდა განვიხილოთ უფრო რთული სტრუქტურის სიმეტრიები. კერძოდ, ეს ეხება სისტემებს, რომელთაც არა ერთი, არამედ რამდენიმე სიმეტრია აქვთ.

პეპელას ერთი სიმეტრია აქვს - არეკვლითი სიმეტრია, და არსებობს ურთიერთშებრუნებულ არეკვლათა ერთადერთი წყვილი.

წრეწირსაც ერთი სიმეტრია აქვს - ბრუნვითი სიმეტრია, მაგრამ არსებობს ურთიერთშებრუნებულ ბრუნვათა უამრავი წყვილი (ვიტყოდი, უსასრულო რაოდენობა წყვილები).

მაგრამ, არსებობენ სისტემები, რომელთაც არაერთი სიმეტრია აქვთ. მაგალითად, ავიღოთ სავარჯიშო განტელი. მას აქვს ორი სიმეტრია: არეკვლითი (პეპლის ანალოგიური) და ბრუნვითი (წრეწირის ანალოგიური). მხოლოდ, აუცილებელია დავაკონკრეტოთ სად არიან ეს არეკვლის და ბრუნვის ღერძები.

3

როდესაც სისტემას აქვს ერთზე მეტი სიმეტრია, ეს იმას ნიშნავს, რომ თითოეული ტიპის სიმეტრიის შესაბამისად შეგვიძლია მოვახდინოთ გარდაქმნა და/ან გარდაქმნათა კომპოზიცია, რომლითაც მოცემული სისტემა არ შეიცვლება.

მაგალითად, ავრეკლოთ განტელი ერთხელ (არეკვლითი ღერძის მიმართ) და ამის პარალელურად მოვაბრუნოთ 60 გრადუსით (ბრუნვითი ღერძის მიმართ). შედეგად მივიღებთ იმავე სისტემას, იმავე სახით. ანუ, არ აქვს მნიშვნელობა რამდენი სიმეტრია აქვს სისტემას. ნებისმიერი სიმეტრიულ გარდაქმნათა კომბინაცია (იქნება ის ერთი სახის სიმეტრიებში თუ სხვადასხვა სახის სიმეტრიებში) კვლავაც მოგვცემს სისტემის იმავე სახეს.

მოკლედ: სიმეტრიული გარდაქმნების ნებისმიერი კომპოზიცია კვლავაც სიმეტრიული გარდაქმნაა.

აი ასეთი თვისებებით ხასიათდება სიმეტრიული გარდაქმნა. თუ სისტემას აქვს რაიმე სიმეტრია, მაშინ არსებობს შესაბამისი გარდაქმნები, რომლებიც სისტემას უცვლელს ტოვებენ. ასეთ გარდაქმნებს, რომლებიც სისტემას უცვლელს ტოვებენ, მოცემული სისტემის ინვარიანტული გარდაქმნები ეწოდებათ. და ეს ინვარიანტული გარდაქმნები წარმოადგენენ ურთიერთშებრუნებულ გარდაქმნათა წყვილების ერთობლიობას.

კერძოდ, პეპლის ინვარიანტული გარდაქმნა არის არეკვლა, და მას ერთი წყვილი აქვს. წრეწირის ინვარიანტული გარდაქმნა არის ბრუნვა, და მას უამრავი წყვილი აქვს. განტელს აქვს ორი სიმეტრია, და შესაბამისად ინვარიანტულ გარდაქმნათა ორი კლასი - არეკვლითი და ბრუნვითი.

ცხადია, არ არის აუცილებელი, რომ მხოლოდ გეომეტრიული ფიგურების სიმეტრიებზე ვისაუბროთ. არის ერთი ეგზოტიკური მაგალითი, რომლის გამოყენება ყოველთვის მიყვარს, როდესაც ვსაუბრობ სიმეტრიებზე ან/და კატეგორიათა თეორიაზე (მათემატიკაში). ეს არის ჭადრაკი.

ჭადრაკის სტანდარტულ სისტემაში გვაქვს 16 ფიგურა: ერთი მეფე, ერთი დედოფალი, ორი მხედარი, ორი ეტლი, ორი „კუ“, და რვა პაიკი. აქვს თუ არა ჭადრაკის სისტემას სიმეტრია?

დიახ აქვს, რადგან მასში გვხვდება „რაღაც გამეორებები“. აი ისიც, სიმეტრიის არებობის დადგენის დაცდილი მეთოდი: სისტემაში უნდა არსებობდეს „გამეორებები“, ან „ერთგვაროვნება“, ან „მუდმივობა“. პეპლის შემთხვევაში მეორდებოდა მარჯვენა და მარცხენა ფორმა, წრეწირის შემთხვევაში ერთგვაროვანი იყო წირის სიმრუდე, ხოლო ჭადრაკში გვხვდება რამდენიმე ტიპის ფიგურის გამეორება.

4

ამის გამო ჭადრაკს აქვს სიმეტრიები, და ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ ამ სიმეტრიების შესაბამისი ინვარიანტული გარდაქმნები. მაგალითად, ავიღოთ ორი ეტლის სიმეტრია. ინვარიანტული გარდაქმნა ამ შემთხვევაში ძალიან ჰგავს არეკვლით გარდაქმნას - ეტლებს ადგილები უნდა შევუცვალოთ. ამით ჭადრაკის სისტემა არ შეიცვლება (ინვარიანტი დარჩება). ამ გარდაქმნის შებრუნებული გარდაქმნა არის, თუ ეტლებს დავაბრუნებთ თავდაპირველ ადგილზე. ამრიგად, ეტლების შემთხვევაში ჭადრაკს აქვს გაცვლითი სიმეტრია ერთი ურთიერთშებრუნებული წყვილით.

ზუსტად იმავეს თქმა შეიძლება მხედრებზეც.. აი რაც შეეხება პაიკებს, აქ გაცილებით უფრო მეტი კომბინაციის საშუალება გვაქვს. სულ რვა პაიკი არის, და მათი გადანაცვლების და გადაჯგუფების უამრავი ვარიანტი არსებობს (4032 ვარიანტია). ცხადია, პაიკების გადანაცვლების სიმეტრიას აქვს არა ერთი ურთერთშებრუნებული წყვილი (როგორც მაგალითად ეტლების გადანაცვლებას), არამედ ძალიან ბევრი.

ამრიგად, ჭადრაკს აქვს სიმეტრიის ოთხი ჯგუფი: ეტლების, მხედრების, „კუ“-ების და პაიკების. აქედან, სამი მათგანისთვის არსებობს გარდაქმნათა თითო ურთიერთშებრუნებული წყვილი, ხოლო პაიკებისთვის არსებობს რამდენიმე წყვილი. და როგორც წრეწირის და განტელების შემთხვევაში, ნებისმიერი ორი ინვარიანტული გარდაქმნის (ამ შემთხვევაში გადანაცვლების) თანმიმდევრული კომპოზიცია კვლავაც ინვარიანტული გარდაქმნაა, რადგან სისტემას სახეს არ უცვლის.

ვფიქრობ, ახლა უკვე ყოველდღიურ ცხოვრებაში შეიძლება დავაკვირდეთ სხვადასხვა ობიექტებს/მოვლენებს და მათ სიმეტრიებზე ვიმსჯელოთ და მათი ინვარიანტული გარდაქმნების სახეებსა და ურთიერთშებრუნებულ წყვილებზე.

2. სიმეტრიის ჯგუფი

ნებისმიერი სისტემა ხასიათდება სხვადასხვა პარამეტრებით, რომლებიც საზოგადოდ ცვლადნი არიან მოცემულ სისტემაში. თუმცა, სისტემის ზოგიერთი პარამეტრი შეიძლება ერთგვაროვნად იყოს განაწილებული სისტემაში. სხვაგვარად იტყვიან, რომ მოცემული პარამეტრი მუდმივია სისტემაში, ან მეორდება.

განმარტება: სისტემას ეწოდება სიმეტრიული რაიმე პარამეტრის მიმართ, თუ ეს პარამეტრი მეორდება, მუდმივია და/ან ერთგვაროვანია მოცემულ სისტემაში.

რა თვისებებით ხასიათდება სიმეტრიული სისტემა?

მოცემული პარამეტრის ერთგვაროვნებიდან გამომდინარე არსებობს ინვარიანტული გარდაქმნა, რომელიც სისტემას სახეს არ უცვლის. ვინაიდან სისტემას სახე არ შეეცვალა, ამიტომ ის კვლავაც იგივე სისტემაა იმავე სიმეტრიით, და შესაბამისად შეგვიძლია კვლავ მოვახდინოთ ინვარიანტული გარდაქმნა, რომელიც კვლავაც იმავე სახეს შეუნარჩუნებს სისტემას.

აქედან მოდის ინვარიანტულ გარდაქმნათა ერთ-ერთი თვისება: ისინი „ჩაკეტილნი“ არიან კომპოზიციის მიმართ. „ჩაკეტილობაში“ ის იგულისხმება, რომ ნებისმიერი ორი გარდაქმნის თანმიმდევრული კომბინაცია კვლავაც ინვარიანტული გარდაქმნა არის სისტემისთვის (რადგან სისტემის სახეს არ ცვლის) და არა სხვა რაიმე ობიექტი. ანუ, ინვარიანტობის თვისება არ იცვლება. და ეს ვრცელდება ნებისმიერ რაოდენობა კომპოზიციაზე.

მეორე თვისება - ეს არის შებრუნებულის არსებობა. ნებისმიერი ინვარიანტული გარდაქმნისთვის არსებობს მისი შებრუნებული კვლავაც ინვარიანტული გარდაქმნა, რომელიც თავდაპირველ მდგომარეობაში გადმოიყვანს სისტემას. მეტიც, ინვარიანტული გარდაქმნის ორჯერ შებრუნებული იგივე გარდაქმნაა. ანუ, არსებობს ურთიერთშებრუნებულ გარდაქმნათა წყვილები.

ასეთ სტრუქტურას მათემატიკოსები ჯგუფს უწოდებენ. ინვარიანტული გარდაქმნები ქმნიან ჯგუფის სტრუქტურას. მოდი ზოგადად განვმარტოთ ჯგუფი და შემდეგ განვიხილოთ მისი კერძო შემთხვევა - ინვარიანტული გარდაქმნები უკვე ჯგუფის ენაზე.

ჯგუფი: ეს არის სიმრავლე რაიმე (a1, a2, a3, a4..) ელემენტებისა ისეთი, რომ არსებობს კომპოზიცია * და სრულდება პირობები

1: ნებისმიერი ორი ელემენტის კომპოზიცია რაიმე სხვა ელემენტია: am*an=ak (ამ დროს ამბობენ, რომ ჯგუფის ელემენტები „ჩაკეტილნი“ არიან კომპოზიციის მიმართ, რადგან ორი ელემენტის კომპოზიცია კვლავაც ჯგუფის რაიმე ელემენტს გვაძლევს)

2: არსებობს ნეიტრალური ელემენტი e ისეთი, რომ ნებისმიერი ელემენტის კომპოზიცია მასთან იგივე ელემენტია: at*e=at

3: ნებისმიერი ელემენტისთვის არსებობს შებრუნებული ელემენტი ისეთი, რომ ამ წყვილის კომპოზიცია გვაძლევს ნეიტრალურ ელემენტს: ap*aq=e (ეს არის ურთიერთშებრუნებულ ელემენტთა წყვილები)

შენიშვნა: თუ მკაცრად მივუდგებით, დასამტკიცებელია ის, რომ ერთეულოვანი ელემენტი ერთადერთია, და რომ ნებისმიერ ელემენტს ერთადერთი შებრუნებული ჰყავს, და ა.შ. თუმცა, ამ დეტალებში და ჯგუფთა თეორიაში არ ჩავღრმავდებით.

მაგალითი: ჯგუფის მრავალი მაგალითი არსებობს მათემატიკაში. თუმცა, ჩვენთვის ყველაზე ახლობელი არის - მთელი რიცხვები (... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ...).

მართლაც, შევამოწმოთ, რომ ეს ჯგუფია. ჯგუფის ელემენტებს ამ შემთხვევაში წარმოადგენენ რიცხვები, ხოლო კომპოზიციას წარმოადგენს მიმატების (შეკრების) ოპერაცია. შევამოწმოთ, რომ პირობები სრულდება:

1: ნებისმიერი ორი რიცხვის კომპოზიცია (ჯამი) რაიმე სხვა რიცხვია. (სწორია)

2: არსებობს ნეიტრალური ელემენტი „0“ ისეთი, რომ ნებისმიერი რიცხვის ჯამი მასთან კვლავაც იგივე რიცხვია. მაგალითად, 6+0=6. (სრულდება ეს პირობაც)

3: ნებისმიერი რიცხვისთვის არსებობს მისი შებრუნებული რიცხვი ისეთი, რომ მათი ჯამი გვაძლევს ნეიტრალურ ელემენტს, ანუ ნულს. მართლაც, ავიღოთ 8 და მისი შებრუნებული -8. მათი ჯამი 0-ია.

ამრიგად, მთელი რიცხვები ქმნიან ჯგუფს. ახლა კი განვიხილოთ ინვარიანტული გარდაქმნების ჯგუფი, ან სხვანაირად უწოდებენ - სიმეტრიის ჯგუფი. ამ შემთხვევაში ჯგუფის ელემენტებს წარმოადგენენ ინვარიანტული გარდაქმნები, ხოლო კომპოზიცია არის ინვარიანტული გარდაქმნების თანმიმდევრული შესრულება. შევამოწმოთ, რომ სრულდება პირობები:

1: მოვახდინოთ სიმეტრიული სისტემის ინვარიანტული გარდაქმნა. ვინაიდან გარდაქმნა ინვარიანტულია, ამიტომ სისტემას იგივე სახე აქვს, ანუ ისევ სიმეტრიული სისტემა მივიღეთ. ამიტომ, შეგვიძლია კვლავ მოვახდინოთ რაიმე სხვა ინვარიანტული გარდაქმნა, რომელიც სისტემას კვლავაც დაუტოვებს იმავე სახეს. ამიტომ, ორი ინვარიანტული გარდაქმნის კომპოზიცია კვლავ ინვარიანტული გარდაქმნა არის - ესეიგი, ინვარიანტული გარდაქმნები „ჩაკეტილნი“ არიან კომპოზიციის მიმართ.

2: არსებობს ნეიტრალური ელემენტი. ამაზე საუბარი წინა ნაწილში არ გვქონდა, რადგან არც ღირს განსახილველად. ეს არის იგივური გარდაქმნა, რომელიც სისტემაში არაფერს ცვლის, არამედ საკუთარ თავში ტოვებს სისტემას, არაფერს გარდაქმნის და არაფერს „გადაადგილებს“. ამიტომ, როდესაც გარდაქმნებზე ვსაუბრბოთ, იგივური გარდაქმნა მათში არ იგულისხმება, რადგან ის იგივე „ნულია“.

ცხადია, ნებისმიერი ინვარიანტული გარდაქმნის კომპოზიცია იგივურ გარდაქმნასთან არაფერს ცვლის, ამიტომ იგივე ინვარიანტული გარდაქმნა რჩება. მაგალითად, ჭადრაკში გადავანაცვლეთ ეტლები. ეს ინვარიანტული გარდაქმნა არის. შემდეგ კი მოვახდინეთ იგივური გარდაქმნა (ესეიგი, არც არაფერი შეგვიცვლია). ეს კი იმავეს ტოვებს სურათს, ანუ მხოლოდ ეტლების გადანაცვლება რჩება.

პრინციპში, ახლა ძალიან დეტალურად ვსაუბრბოთ ისედაც გასაგებ მარტივ თემაზე, რომელიც განსახილველად არც კი ღირს. იგივური გარდაქმნა არ არის გარდაქმნა (სწორედ ამიტომ ჰქვია იგივური), უბრალოდ, იმისათვის, რომ ვაჩვენოთ, რომ ინვარიანტული გარდაქმნები ჯგუფს ქმნიან, უნდა შევამოწმოთ ჯგუფის სამივე პირობა, მათ შორის - ნეიტრალური ელემენტის არსებობა, რომელიც იგივური გარდაქმნაა.

3: აი მესამე პირობა არის ჯგუფის ძირითადი სტრუქტურის მაჩვენებელი: არსებობს ურთიერთშებრუნებულ გარდაქმნათა წყვილები. მეტიც, ორი ურთიერთშებრუნებული გარდაქმნის კომპოზიცია სისტემას აბრუნებს საკუთარ თავში, ამიტომ ეს კომპოზიცია ისევე მოქმედებს, როგორც იგივური გარდაქმნა. (სწორედ ისე, როგორც ეს მთელი რიცხვების ჯგუფშია: 8-8=0)

ამრიგად, სისტემის ინვარიანტული გარდაქმნები ქმნიან მათემატიკური ჯგუფის სტრუქტურას. ცხადია, სისტემის ყველა სიმეტრიას თავისი ინვარიანტული გარდაქმნების სახე გააჩნია. მაგალითად, სავარჯიშო განტელს აქვს არეკვლის ჯგუფი და ბრუნვის ჯგუფი. სისტემის ყველა სიმეტრიის შესაბამისი ჯგუფები გლობალურად ერთ დიდ სიმეტრიის ჯგუფს ქმნიან, რომლის ქვეჯგუფებსაც წარმოადგენენ ცალკეული სიმეტრიის შესაბამისი ჯგუფები. იგივური გარდაქმნა კი ყველა ჯგუფისთვის ერთი და იგივეა, რადგან, როგორც ვთქვით, ის არ არის გარდაქმნა (არაფერს ცვლის). თუმცა, არაფრის ცვლილება შეგვიძლია განვიხილოთ, როგორც გარდაქმნის ყველაზე ტრივიალური შემთხვევა. ამიტომაც ჰქვია მას იგივური გარდაქმნა.

ეს ყველაფერი კარგი, მაგრამ ხომ არსებობს გარდაქმნები, რომლებიც არიან ასიმეტრიულნი, ანუ ისეთები, რომლებიც სისტემის სახეს ცვლიან. მაგალითად, რომ ავიღოთ ისევ ჭადრაკი და ეტლი და პაიკი შევანაცვლოთ. ეს არ იქნება ინვარიანტული გარდაქმნა, რადგან ჭადრაკის სისტემას სახე შეეცვალა. თუმცა, თავის მხრივ, ამ ახალ სისტემას ამ ახალი სახით თავის სიმეტრიები გააჩნია, რომელთათვისაც არსებობს ინვარიანტული გარდაქმნები, რომლებიც უკვე ამ ახალ სახეს ტოვებენ უცვლელს.

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ სიმეტრიული სისტემა და მოვახდინოთ მისი არაინვარიანტული გარდაქმნა, რომელიც სისტემას სახეს შეუცვლის. თავის მხრივ, ამ სახეშეცვლილ სისტემას შეიძლება თავისი (სხვა ტიპის) სიმეტრიები ჰქონდეს, რომლებისთვისაც, რაღა თქმა უნდა, არსებობს ინვარიანტულ გარდაქმნათა ჯგუფები. ესეიგი, ჩვენ მოვახდინეთ გარდაქმნა, რომელმაც ერთი სახის სიმეტრიების კლასი გადაიყვანა სხვა სახის სიმეტრიების კლასში. შეიძლება ზოგიერთი სიმეტრია საერთოც აქვთ მოცემულ კლასებს, მაგრამ ამ გარდაქმნით ზოგიერთი სიმეტრია დაირღვა.

ეს არის სისტემების კლასიფიკაციის ამოცანა.. შეიძლება არსებობდეს სისტემის მრავალი სახე, და სისტემის ერთი სახიდან მეორეში გადასვლა ხდება არაინვარიანტული გარდაქმნით. მაგრამ, სისტემის თითოეული სახისთვის შეიძლება არსებობდეს ინვარიანტულ გარდაქმნათა ჯგუფები (სისტემის ამ სახის სიმეტრიების შესაბამისი), რომლებიც მოცემულ სახეს უცვლელს ტოვებენ.

ჭადრაკი, როგორც ყოველთვის, ყველაზე კარგი მაგალითია.. ჭადრაკს აქვს სიმეტრიის ოთხი ჯგუფი (როგორც პირველ ნაწილში დავადგინეთ). ახლა მოვახდინოთ ეტლისა და რომელიმე პაიკის ურთიერთგადანაცვლება. ამით ჭადრაკის სიმეტრია დაირღვა, გარკვეულწილად. მაგრამ, მიღებულ ახალ სისტემას თავისი სიმეტრიები მაინც გააჩნია. გარდა იმ სიმეტრიებისა, რაც საერთო აქვს ჭადრაკის წინა სახესთან (მხედრების და „კუ“-ების გადანაცვლების სიმეტრიები), მას აქვს პაიკების გარკვეული გადანაცვლებითი სიმეტრიებიც. მეტიც, პაიკის ადგილზე დამჯდარი ეტლი შეიძლება შეცვალოს მეორე ეტლმა, რომელიც თავის ადგილზე ზის. ასეთი გეომეტრიული გარდაქმნა მოცემული სისტემისთვის ინვარიანტული იქნება, მაგრამ ჭადრაკის სტანდარტული სისტემისთვის ამ ადგილებზე მდგარი ფიგურების გადანაცვლება არ იქნებოდა ინვარიანტული (რადგან ერთგან ეტლი იჯდებოდა, მეორეგან პაიკი).

ამრიგად, არაინვარიანტული გარდაქმნით სისტემა იღებს ახალ სახეს, რომელსაც შეიძლება ზოგიერთი სიმეტრია „გამოჰყვეს“ წინა სახიდან. ზოგიერთი არ გამოჰყვება, მაგრამ ზოგიერთი ახალი ტიპის სიმეტრიაც კი იქნება, რომელსაც არ ჰქონდა ადგილი სისტემის წინა სახეში.

ასეთნაირად, სისტემები კლასიფიცირდნენ მათი სახეების მიხედვით: ორი სისტემა ერთ კლასს ეკუთვნის, თუ მათ ერთი და იგივე სახე აქვთ, ანუ თუ ისინი ერთმანეთში გადადიან ინვარიანტული გარდაქმნით. ყოველ კლასში არიან გაერთიანებულნი ერთი სახის მქონე სისტემები, ანუ ყოველი კლასი არის ინვარიანტული გარდაქმნების ერთი ჯგუფი.

5

3. ნოეტერის თეორემა

სიმეტრიის თემა ფიზიკაში არც ისეთი ახალგაზრდაა.. სიმეტრიის საფუძვლები ჯერ კიდევ გალილეო გალილეიმ ჩამოაყალიბა, როდესაც თქვა, რომ ფიზიკის კანონებს ერთი და იგივე სახე უნდა ჰქონდეთ ერთმანეთთან ინერციულად დაკავშირებულ ათვლის სისტემებში. მან ერთი ათვლის სისტემიდან მეორეში გადასვლის ფორმულებიც კი ჩამოაყალიბა. მოგვიანებით ჩამოყალიბდა ე.წ. ლორენცის გარდაქმნები, რომლებიც მაღალი სიჩქარეებით მოძრავი სისტემებისთვის არის სამართლიანი.

ის იდეა, რომ ფიზიკის კანონებს ერთი და იგივე სახე უნდა ჰქონდეთ სხვადასხვა ათვლის სისტემებში, ცნობილია, როგორც ფარდობითობის პრინციპი. ინტუიციურად ეს გასაგებიც არის - ფიზიკა ერთი და იგივე უნდა იყოს მთელს სამყაროში ყველა ათვლის სისტემაში. ფარდობითობის პრინციპი პირველად ჩამოყალიბდა მექანიკური მოძრაობებისთვის, თუმცა მან უფრო ზოგადი სახე მიიღო და ის სამართლიანია, ფაქტობრივად, ნებისმიერი ფიზიკური კანონისთვის.

ფარდობითობის პრინციპი იგივე სიმეტრიაა, ფიზიკური პროცესების სიმეტრია ათვლის სისტემების მიმართ (რადგან პროცესის სახეს ინვარიანტს ტოვებს). მათემატიკოსებმა მთელ რიცხვებზე დაყრდნობით ჩამოაყალიბეს ჯგუფის განმარტება, განავითარეს ჯგუფთა თეორია და აღმოაჩინეს ჯგუფის მრავალი მაგალითი, მათ შორის, სიმეტრიების აღწერაც ჯგუფებით მოახერხეს. მაგრამ, ყველაზე მნიშვნელოვანი გარღვევა მოახდინა მეცნიერმა ემი ნოეტერმა, რომელმაც მათემატიკურად დაამტკიცა, რომ ფიზიკური პროცესების სიმეტრიები (რაც სათავეს ფარდობითობის პრინციპიდან იღებს) ავტომატურად იწვევენ რაიმე ფიზიკური სიდიდეების მუდმივობას, და პირიქით - მუდმივ სიდიდეებს შეესაბამებათ ფიზიკური პროცესის გარკვეული სიმეტრიები.

ფიზიკური პროცესების სიმეტრიული გარდაქმნები დაკავშირებულია როგორც გეომეტრიულ გარდაქმნებთან სივრცე-დროში, ასევე ფიზიკური სიდიდეების გარდაქმნებთანაც. აღმოჩნდა, რომ ფიზიკური პროცესის ყოველ ასეთ სიმეტრიას შეესაბამება რაიმე შენახვადი ფიზიკური სიდიდე, და პირიქით. მხოლოდ, ამის ინტერპრეტირება და წარმოდგენა რთულია, რადგან, რეალურად, ამის აღწერა ხდება მათემატიკურ დონეზე დიფერენციალური აღრიცხვით, „ლი ალგებრებით“, და ა.შ. მაგრამ, იდეების დონეზე შეიძლება ამაზე საუბარი.

იმისათვის, რომ გავიგოთ ნოეტერის თეორემის არსი და სიმეტრიის კავშირი შენახვის კანონებთან, აუცილებლია, რომ განვიხილოთ რაიმე საყოფაცხოვრებო ანალოგია, რაც დაგვეხმარება ამ სტრუქტურის უკეთ დანახვასა და აღქმაში. მხოლოდ ამ მაგალითის შემდგომ შეიძლება ფიზიკურ მაგალითებზე საუბარი. ცხადია, როგორც აღვნიშნე, ნოეტერის თეორემას არ დავამტკიცებთ (ამას რთული მათემატიკა სჭირდება), მაგრამ იდეის დონეზე ვიტყვით რა როგორ ხდება..

საყოფაცხოვრებო ანალოგია: საუბარია ადამიანის მოქმედებებსა და ფასეულობათა სისტემაზე. წარმოიდგინეთ, რომ ადამიანი რაიმე საქმის ერთგულია, ესეიგი, მუდმივად ერთსა და იმავე მოქმედებას ახორციელებს. ეს ერთგულება იმით გამოიხატება, რომ გარემოში მიმდინარე ცვლილებებზე არ რეაგირებს და მიუხედავად ცვლილებებისა ის მაინც თავის საქმეს აკეთებს.

ეს შეიძლება იყოს ნებისმიერი რამ. მაგალითად, პიანინოზე მრავალსაათიანი დაკვრა მიუხედავად იმისა, რომ უკვე ცივა, არ უჭამია, და ა.შ. ან, ეს შეიძლება იყოს მეუღლის ერთგულება მიუხედავად იმისა, რომ გარემოში მრავალი საცდური არსებობს. ეს შეიძლება ნებისმიერი მოქმედება იყოს, რომელიც არ იცვლება გარემოში მიმდინარე ცვლილებების შესაბამისად.

ამ შემთხვევაში იტყვიან ხოლმე, რომ ადამიანს აქვს ფასეულობა. ჩვენ კი შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ადამიანის მოქმედებას აქვს სიმეტრია გარემოში მიმდინარე გარკვეული ცვლილებების მიმართ. ანუ, გარემოში მიმდინარე ცვლილებები წარმოადგენენ გარემოს ინვარიანტულ გარდაქმნას მოცემული ადამიანის მოცემული მოქმედებისთვის, რადგან მოქმედება არ იცვლება.

6

ცხადია, ეს სიმეტრიის არც ისე კარგი და თვალსაჩინო მაგალითია, თუმცა იდეის დონეზე ღირს მისი განხილვა, რადგან, როგორც ვთქვი, მას აქვს ანალოგია ფიზიკურ პროცესებთან.

ამრიგად, ერთის მხრივ, ჩვენ ვამბობთ, რომ ადამიანის მოქმედება ინვარიანტულია გარემოში მიმდინარე გარკვეული ცვლილებების მიმართ (ანუ, ადამიანი ერთგულია თავისი მოქმედებების გარკვეულ პირობებში). მეორეს მხრივ, ამ სიტუაციაში ამბობენ, რომ ადამიანს აქვს რაიმე ფასეულობა, რომელიც ნარჩუნდება და არ იცვლება ადამიანისთვის. სწორედ ეს უცვლელი ფასეულობა აიძულებს ადამიანს, რომ არ შეცვალოს მოქმედება გარემოს ცვლილებების შემთხვევაში.

ცხადია, მარადიული არაფერია, ანუ არ არსებობს „მარადიული“ ფასეულობები. უმეტეს შემთხვევაში, არსებობს გარემოში (ან ადამიანის შინაგან სამყაროში) ისეთი გარდაქმნები, რომლებიც ადამიანის მოქმედებას ცვლიან, და შესაბამისად - მისი ფასეულობის „მარადიულობასაც“ არღვევენ.

კიდევ ერთხელ: არსებობს გარემოში (ან ადამიანის შინაგან სამყაროში) ისეთი გარდაქმნები, რომელთა შემთხვევაშიც ადამიანის მოქმედება არ იცვლება. ესეიგი, ამ ადამიანს ამოძრავებს რაღაც ფასეულობა. მაგრამ, არსებობს გარდაქმნები, რომლის შემთხვევაშიც იცვლება ფასეულობა, და შესაბამისად - ადამიანიც ერთგული აღარ რჩება თავისი მოქმედების, და იცვლის მას.

ის, თუ რომელ ფასეულობას გარემოს როგორი გარდაქმნა ცვლის, ეს უკვე დეტალებია და ამას ფსიქოლოგები იკვლევენ. ჩვენ კი ზოგადად შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ მოდელი:

ადამიანის მოქმედება არის სიმეტრიული, თუ ის არ იცვლება გარემოში (ან ადამიანის შინაგან სამყაროში) მიმდინარე გარკვეული ცვლილებების შედეგად. ამ ცვლილებებს შეიძლება ვუწოდოთ ინვარიანტული გარდაქმნები, რომლებიც ადამიანის მოქმედებას უცვლელს ტოვებს სივრცე-დროში. თუ ასე ხდება, ესეიგი, არსებობს რაიმე ფასეულობა, რომელიც უცვლელია მოცემული გარდაქმნების შემთხვევაში და ნარჩუნდება ადამიანის მოქმედების პროცესში. მეორეს მხრივ, თუ არსებობს ფასეულობა, რომელიც „მარადიულია“ გარემოს ცვლილებების გარკვეულ ფარგლებსა და ჩარჩოებში, მაშინ იარსებებს ადამიანის მოქმედება, რომელიც არ იცვლება გარემოს მოცემული ცვლილებების შემთხვევაშიც კი.

ეს უკვე არის ნოეტერის თეორემის ანალოგია ფსიქოლოგიაში. დეტალებზე, როგორც ვთქვი, იმუშავონ შესაბამისმა მეცნიერებმა. ახლა კი წარმოგიდგენთ ნოეტერის თეორემას ფიზიკაში:

ვიტყვით, რომ ფიზიკურ პროცესს აქვს სიმეტრია გარემოში მიმდინარე ცვლილებების მიმართ, თუ ეს ცვლილებები მისი ინვარიანტული გარდაქმნებია (რომლებიც, როგორც წინა თავებში ვნახეთ, აყალიბებენ ჯგუფის სტრუქტურას). თუ ფიზიკურ პროცესს აქვს გარკვეული სიმეტრია, მაშინ არსებობს ფიზიკური სიდიდე, რომელიც ინახება (ანუ, რომელიც მუდმივი რჩება ფიზიკური პროცესის ფარგლებში). და პირიქითაც სამართლიანია: თუ არსებობს რაიმე შენახვადი სიდიდე, მაშინ არსებობს ფიზიკური პროცესის გარკვეული სიმეტრია.

ანალოგია ასეთია:

ადამიანის მოქმედების ანალოგიას წარმოადგენს ფიზიკური პროცესი (რომელსაც, სხვათაშორის, „ქმედებასაც“ უწოდებენ). გარემოში (და ადამიანის შინაგან სამყაროში) მიმდინარე ცვლილებების ანალოგიას წარმოადგენს მოცემული ფიზიკური პროცესის ინვარიანტულ გარდაქმნათა ჯგუფი. საქმე ეხება როგორც გეომეტრიულ გარდაქმნებს (სივრცითი და დროითი კოორდინატები), ასევე ფიზიკური სიდიდეების გარდაქმნებს (ველები, მაგალითად). ხოლო, „მარადიული“ ფასეულობის ანალოგიას წარმოადგენს შენახვადი სიდიდე, რომელიც მუდმივი რჩება ფიზიკური პროცესის ფარგლებში.

სტატიის პირველ და მეორე ნაწილებში საუბარი არ გვქონდა შენახვის კანონებზე, მხოლოდ სიმეტრიებზე ვისაუბრეთ. ახლა კი უკვე ვიცით, რომ თუ ფიზიკურ პროცესს, როგორც სისტემას, აქვს სიმეტრია, მაშინ არსებობს შენახვადი სიდიდე, და პირიქით. ყოველ სიმეტრიას შეესაბამება გარკვეული შენახვადი სიდიდე. ნოეტერის თეორემის დამტკიცება ყოველ კერძო შემთხვევაში თავისებურია. თუმცა, არსებობს ზოგადი მოდელიც. ჩვენ დამტკიცებები არ გვაინტერესებს.

უნდა განვიხილოთ ერთი მნიშვნელოვანი თემაც: უწყვეტი და დისკრეტული სიმეტრიები.

მეორე ნაწილის (სიმეტრიის ჯგუფი) დასაწყისში ვთქვით, რომ ნებისმიერი სისტემა ხასიათდება სხვადასხვა პარამეტრებით, ხოლო სისტემის სიმეტრია განვმარტეთ, როგორც რაიმე პარამეტრის „ერთგვაროვნება“ სისტემაში, რომლის გასწვრივაც შესაძლებელია ინვარიანტული გარდაქმნების ჩატარება, რომლებიც, თავის მხრივ, ურთიერთშებრუნებულ წყვილებს (ჯგუფს) აყალიბებენ. მაგრამ, ჩვენ დეტალებს აღარ ჩავძიებულვართ.. სისტემის მახასიათებელი პარამეტრი სისტემაში შეიძლება განაწილებული იყოს როგორც დისკრეტულად, ასევე უწყვეტად.

მაგალითად, თუ ავიღებთ წრეწირს, მისი მახასიათებელია სიმრუდე, რომელიც „ერთგვაროვანია“ (ამიტომაც სიმეტრიას ქმნის). სიმრუდე უწყვეტად არის განაწილებული წრეწირში, რადგან ნებისმიერ კუთხეზე არსებობს. შესაბამისად, ინვარიანტული გარდაქმნებიც (მობრუნება) შესაძლებელია უწყვეტად ნებისმიერ კუთხეზე. ესეიგი, ინვარიანტული გარდაქმნები აღიწერებიან უწყვეტი პარამეტრით - კუთხით. ამიტომ, წრეწირს აქვს უწყვეტი სიმეტრია.

თუ განვიხილავთ პეპელას, მისი მახასიათებელი პარამეტრი ფორმაა, რომელიც არა უწყვეტად, არამედ დისკრეტულად არის განაწილებული და მისი შესაბამისი ინვარიანტული გარდაქმნაც (არეკვლა ვერტიკალური ღერძის გასწვრივ) აღიწერება არა რაიმე უწყვეტი პარამეტრით, არამედ დისკრეტული პარამეტრით (სივრცეში ორი ელემენტის გადანაცვლება). ასევეა ჭადრაკის შემთხვევაშიც. საერთოდაც, ნებისმიერი გადანაცვლებითი სიმეტრია დისკრეტულია.

უწყვეტი სიმეტრიის კიდევ ერთი კარგი მაგალითი: წარმოიდგინეთ უბრალოდ უსასრულო ჰორიზონტალური წრფე. ის სიმეტრიული ფიგურაა, რადგან არსებობს მასში გარკვეული „ერთგვაროვნება“. კერძოდ, რომელ წერტილშიც არ უნდა შეხედოთ, თქვენ დაინახავთ ერთსა და იმავე სურათს. და ეს ხდება უწყვეტად, ნებისმიერ წერტილში. ინვარიანტულ გარდაქმნას წარმოადგენს წრფის მოძრაობა ჰორიზონტალური ღერძის გასწვრივ (ანუ თავისივე ღერძის გასწვრივ). ამ შემთხვევაში წრფის სახე არ შეიცვლება. ვინაიდან, წრფე ერთგვაროვანია უწყვეტად ნებისმიერ წერტილში, ამიტომ ჰორიზონტალური გადაადგილებაც ნებისმეირ მანძილზე შეიძლება, ანუ მანძილი წრფის უწყვეტი პარამეტრია. ამიტომ, ეს უწყვეტი სიმეტრიაა.

7

დისკრეტული სიმეტრიის კიდევ ერთი კარგი მაგალითი: წარმოიდგინეთ ახლა არა წრეწირი (რომელსაც უწყვეტი სიმეტრია აქვს), არამედ რაიმე წესიერი ფიგურა, მაგალითად კვადრატი. მას აქვს მობრუნებითი სიმეტრია (ისევე, როგორც წრეწირს), მაგრამ თუ წრეწირს ნებისმიერი კუთხით მობრუნება ინვარიანტს ტოვებდა, კვადრატის შემთხვევაში კუთხეები ფიქსირებულია - 90, 180, 270, 360. ცხადია, ეს გარდაქმნებიც ჯგუფს ქმნიან, მხოლოდ უკვე კვადრატისთვის. ეს დისკრეტული სიმეტრიაა, რადგან კვადრატის „ერთგვაროვანი“ პარამეტრი დისკრეტულად არის განაწილებული კვადრატში. (ანუ კვადრატი მხოლოდ ზემოთ ჩამოთვლილი კუთხეებით უნდა მოაბრუნო, რომ იგივე სურათი მიიღო)

ამრიგად, ახლა უკვე შეგვიძლია სიმეტრიის უფრო კონკრეტული განმარტება ჩამოვაყალიბოთ:

ნებისმიერი სისტემა ხასიათდება სხვადასხვა პარამეტრებით. ვიტყვით, რომ სისტემა სიმეტრიულია რაიმე პარამეტრის მიმართ, თუ ეს პარამეტრი „ერთგვაროვანია“ მოცემულ სისტემაში.

ეს განმარტება სტატიის მეორე ნაწილშიც იყო მოცემული. ახლა კი დავამატებთ პატარა დეტალს:

თუ ეს პარამეტრი უწყვეტად არის განაწილებული (ანუ უწყვეტად მეორდება) სისტემაში, მაშინ მისი შესაბამისი სიმეტრია უწყვეტია, და შესაბამისი ინვარიანტული გარდაქმნებიც უწყვეტ დიაპაზონში მიმდინარეობს მოცემული პარამეტრის გასწვრივ.

ანალოგიურად: თუ ეს პარამეტრი დისკრეტულად არის განაწილებული სისტემაში, მაშინ მისი შესაბამისი სიმეტრია დისკრეტულია, და შესაბამისი ინვარიანტული გარდაქმნებიც დისკრეტულად მიმდინარეობს მოცემული პარამეტრის გასწვრივ.

ეს თემა იმით არის საინტერესო, რომ სტანდარტულად ნოეტერის თეორემა სამართლიანია ფიზიკური პროცესების უწყვეტი სიმეტრიებისთვის. თუმცა, რეალურად დისკრეტული სიმეტრიებიც არსებობს და გარკვეულ შენახვის კანონებთან მაინც გვაქვს საქმე. მომდევნო ნაწილში ზოგადად განვიხილავთ რა არის ფიზიკური პროცესი და როგორ აიგება ის თეორიულად.

4. ფიზიკური პროცესი

მსჯელობას ვიწყებთ ფუნდამენტალურად და დედუქციურად.. ვეცდებით ყველაფერი ლოგიკურად და თანმიმდევრობით გამოვიყვანოთ. ფიზიკურ პროცესებსა და ნოეტერის თეორემაზე ამ სტატიაშიც წერია. თუმცა, მოცემული სტატიის მოცემულ ნაწილში ამ თემას აუცილებლად შევეხებით, რადგან მოგვიანებით მისი მაგალითები უნდა განვიხილოთ (რამდენადაც ეს შესაძლებელია მათემატიკის გარეშე).

ნებისმიერი ფიზიკური პროცესი, როგორც ფიზიკოსები იტყვიან, წარმოადგენს ენერგიის სტრუქტურირებას სივრცესა და დროში. რატომ სტრუქტურირებას? იმიტომ, რომ ნებისმიერი ფიზიკური პროცესი თუ სისტემა წარმოადგენს ენერგიის გარკვეულ სახე-სტრუქტურას, რომელიც იცვლება სივრცესა და დროში. ამიტომაც, ტერმინი „სტრუქტურირება სივრცე-დროში“, ვფიქრობ, ადექვატური აღნიშვნაა ფიზიკური პროცესისთვის.

ცხადია, ნებისმიერი ფიზიკური პროცესისთვის (ან პროცესების ცალკეული ტიპებისთვის) არსებობს უნიკალური და უნივერსალური სტრუქტურა. ამრიგად, ენერგიის სტრუქტურირების სახე განსხვავებულია სხვადასხვა ფიზიკური პროცესებისთვის. ამიტომაც არის ჩვენი რეალობა ასეთი მრავალფეროვანი. მაგრამ, ჩვენ კონკრეტულ მაგალითებს არ განვიხილავთ (ჯერჯერობით), არამედ ვსაუბრობთ იმაზე, რაც უნივერსალურია ნებისმიერი ფუნდამენტალური ფიზიკური პროცესისთვის. კერძოდ ის, რომ ის წარმოადგენს ენერგიის გარკვეულ სახე-სტრუქტურირებას სივრცე-დროში.

ვინაიდან ასეა, მაშასადამე, არსებობს გარკვეული პარამეტრი (რომელსაც ლაგრანჟიანს უწოდებენ), რომელიც მოცემული ფიზიკური პროცესის სივრცე-დროში „ფიქსირებულ“ ყოველ მდგომარეობას ახასიათებს ენერგეტიკული თვალსაზრისით. ლაგრანჟიანის სახე, როგორც ვთქვით, განსხვავებულია პროცესების ტიპების მიხედვით. თუმცა, ზოგადი იდეა არ იცვლება - ის ენერგეტიკულად ახასიათებს ფიზიკური სისტემის ყოველ „ფიქსირებულ“ მდგომარეობას.

ახლა კი დინამიკის ძირითადი ამოცანა დავსვათ: როგორ გადადის ფიზიკური სისტემა ერთი ფიქსირებული მდგომარეობიდან მეორეში? ანუ როგორი სახე აქვს ფიზიკურ პროცესს?

8

ეს შეკითხვა, შეიძლება ითქვას, რომ ფიზიკის უნივერსალური შეკითხვაა. ის სამართლიანია, ფაქტობრივად, ნებისმიერ დარგში. ცხადია, გააჩნია, რა იგულისხმება სისტემის მდგომარეობის ცვლილებაში, და ზოგადად - რა იგულისხმება მოცემულ სისტემაში. მაგრამ, იდეა ერთია - ყველაფერი ენერგიის სტრუქტურირებაა, ამიტომ სისტემის ერთი მდგომარეობიდან მეორეში გადასვლაც ხასიათდება ენერგიით, ესეიგი, ლაგრანჟიანით აღიწერება (ყოველი პროცესის ტიპს ლაგრანჟიანის თავისებური სახე აქვს და შესაბამისად - სისტემის დინამიკის თავისებური მოდელი, მაგრამ იდეა მათ საერთო აქვთ).

დინამიკის ძირითად შეკითხვას პასუხს სცემს ასეთი დაშვება, რომ ბუნება ირჩევს ერთი მდგომარეობიდან მეორეში გადასვლის ყველაზე „მარტივ“ და „მინიმალურ“ გზას. ეს არის უმცირესი ქმედების პრინციპი. მაგრამ, რა იგულისხმება ამ „სიმარტივეში“ და „მინიმალურობაში“? როგორღაც ხომ უნდა დავახასიათოთ ეს „უმცირესობა“..

როგორც აღვნიშნეთ, ყოველი ფიზიკური პროცესი ენერგიის სტრუქტურირებაა სივრცე-დროში, ამიტომაც, შემოვიტანეთ მოცემული ფიზიკური პროცესის ენერგეტიკულად მახასიათებელი პარამეტრი (ლაგრანჟიანი), რომელიც სისტემის ყოველ ფიქსირებულ მდგომარეობას სივრცე-დროის ყოველ ფიქსირებულ წერტილსა და მომენტში შეუსაბამებს ენერგიის გარკვეულ სახეს. ახლა დავაფიქსიროთ სისტემის ორი მდგომარეობა. ერთი მდგომარეობიდან მეორე მდგომარეობაში სისტემა გადავიდა რაიმე გზით (მდგომარეობათა უწყვეტი ჯაჭვით). მაგრამ რომელი გზით კონკრეტულად?

ერთი მდგომარეობიდან მეორე მდგომარეობაში სისტემა შეიძლება გადასულიყო უამრავი (ხშირ შემთხვევაში, უსასრულო) რაოდენობა გზების ვარიანტებით. მაგრამ, ფიზიკურად განხორციელდა მხოლოდ ერთ-ერთი მათგანი. დინამიკის ძირითად ამოცანას წარმოადგენს სწორედ ამ გზის დადგენა.

კიდევ ერთხელ: სისტემის ორ ფიქსირებულ მდგომარეობას შორის არსებობს უამრავი მდგომარეობათა უწყვეტი ჯაჭვი. რომელ მათგანს ირჩევს ბუნება? ცხადია, რომელსაც უმცირესი ქმედება შეესაბამება. მაგრამ, როგორ აღვწეროთ ეს „უმცირესი ქმედება“ ენერგიის სტრუქტურირების ენაზე?

არც მეტი, არც ნაკლები, ავიღოთ სისტემის მდგომარეობის ენერგეტიკული მახასიათებელი (ლაგრანჟიანი) და უწყვეტად ავჯამოთ ყველა ამ შესაძლო გზაზე. ვინაიდან, ყოველი ეს გზა წარმოადგენს სისტემის მდგომარეობათა უწყვეტ ჯაჭვს, ამიტომ ლაგრანჟიანსაც აქვს შესაბამისი რიცხვითი მნიშვნელობები ყოველი ამ მდგომარეობისთვის. ხოდა ავჯამოთ ეს რიცხვითი მნიშვნელობები ყველა ამ გზაზე (მდგომარეობათა უწყვეტ ჯაჭვებზე). რომელ გზაზეც ეს ჯამი იქნება მინიმალური სხვებთან შედარებით, სწორედ იმ გზაზე მოძრაბს სისტემაც (ანუ მდგომარეობათა ამ თანმიმდევრობას გადის პირველი ფიქსირებული მდგომარეობიდან მეორე ფიქსირებულ მდგომარეობამდე).

აი ასე „მარტივად“ წყდება დინამიკის ძირითადი ამოცანა.. შევაჯამოთ: ნებისმიერი პროცესი ენერგიის სტრუქტურირებაა სივრცე-დროში. ამიტომ, განვმარტოთ ფიზიკური სისტემის ენერგეტიკული მახასიათებელი, რომელიც სისტემის ყოველ მდგომარეობას სივრცე-დროის ყოველ წერტილში გარკვეულ რიცხვს უთანადებს. ავიღოთ ნებისმიერი ორი ფიქსირებული მდგომარეობა. არსებობს ერთი მდგომარეობიდან მეორეში გადასვლის უამრავი მდგომარეობათა უწყვეტი ჯაჭვი. ყველა ამ მდგომარეობათა ჯაჭვზე ავჯამოთ ლაგრანჟიანის რიცხვითი მნიშვნელობები, და რომელზეც მინიმალური იქნება ეს ჯამი (ენერგიის გლობალური პროდუქტი), სისტემაც სწორედ ამ გზით გადადის ერთი მდგომარეობიდან მეორეში.

მაგალითად, თუ საქმე მექანიკურ მოძრაობებს ეხება, ამ შემთხვევაში ენერგიის სტრუქტურირების მახასიათებელი ლაგრანჟიანი არის მოცემული ფიზიკური სისტემის კინეტიკური და პოტენციალური ენერგიების სხვაობა. ხოლო, უმცირესი ქმედების პრინციპიდან პირდაპირ ვიღებთ მოძრაობის აღმწერ განტოლებას - ნიუტონის მეორე კანონს.

ანალოგიურად, ელექტროდინამიკაში ლაგრანჟიანს წარმოადგენს ელექტრული და მაგნიტური ველების ენერგიების გარკვეული კომბინაცია, ხოლო უმცირესი ქმედების პრინციპით პირდაპირ ვიღებთ მაქსველის განტოლებათა სისტემას (ელექტროდინამიკის აღმწერ განტოლებებს). ეს ფორმალიზმი გავრცელებულია, ფაქტობრივად, ფიზიკის ნებისმიერ ფუნდამენტალურ დარგში.

კარგი. დაუშვათ ჩამოვაყალიბეთ გარკვეული ფიზიკური პროცესის ენერგეტიკულად მახასიათებელი პარამეტრი - ლაგრანჟიანი, ჩამოვაყალიბეთ დინამიკის (სისტემის მდგომარეობის ცვლილების) ძირითადი ამოცანა და ამოვხსენით ის უმცირესი ქმედების პირობაზე დაყრდნობით, საიდანაც მივიღეთ მოცემული ფიზიკური პროცესის - სისტემის მდგომარეობის სივრცე-დროში ცვლილების აღმწერი განტოლებები. მერე?

ამით ფიზიკა არ დასრულებულა.. ფიზიკაში ცნობილია შენახვის კანონები: ჩაკეტილ სისტემაში გარკვეული ფიზიკური სიდიდეები მუდმივები რჩებიან. შეკითხვა ისმის ასე: შესაძლებელია თუ არა თეორიული მსჯელობით ლოგიკურად მივიღოთ შენახვის კანონები რაიმე პრინციპებიდან, როგორც ეს გავაკეთეთ დინამიკის კანონებისთვის, უმცირესი ქმედების პრინციპზე დაყრდნობით? ანუ, შესაძლებელია თუ არა შენახვის კანონებისთვისაც არსებობდეს რაიმე ფუნდამენტალური პრინციპი?

ემი ნოეტერმა დაამტკიცა, რომ ეს შესაძლებელია. სისტემათა სიმეტრიების აღწერა ინვარიანტული გარდაქმნების ჯგუფით უკვე ვიცით (ამაზე სტატიის პირველ და მეორე ნაწილში გვქონდა საუბარი). ახლა დროა ეს მოდელი მოვარგოთ ფიზიკურ პროცესებს. კერძოდ, ამ შემთხვევაში სისტემას წარმოადგენს ფიზიკური პროცესი - ფიზიკური სისტემის მდგომარეობის ცვლილება სივრცე-დროში (რომელიც დინამიკის განტოლებებით აღიწერება, რომლებიც, თავის მხრივ, უმცირესი ქმედების პრინციპზე დაყრდნობით მივიღეთ). ხოლო, სიმეტრიები მას შეიძლება სხვადასხვა სახის ჰქონდეს და შესაბამისად - ინვარიანტულ გარდაქმნათა ჯგუფებიც სხვადასხვა ექნება.

9

როგორ იკვლევენ ფიზიკოსები ფიზიკური პროცესების სიმეტრიებს?

როდესაც საუბარი გვქონდა წრეწირზე ან განტელებზე, ეს სტატიკური და მარტივი სისტემებია, რომელთა სიმეტრიების აღმოჩენა და შესაბამისი ინვარიანტულ გარდაქმნათა ჯგუფის ჩამოყალიბება ადვილია. მაგრამ, როდესაც საუბარია რთულ ფიზიკურ პროცესებზე, მითუმეტეს, რომ ისინი აბსტრაქტული ფორმალიზმით არიან ჩაწერილნი (დიფერენციალური განტოლებებით), მათი სიმეტრიების აღმოჩენა არც ისე ადვილია (ყოველ შემთხვევაში, მათემატიკის არმცოდნე ადამიანისთვის).

რამდენადაც, ფიზიკური პროცესები აღიწერებიან განტოლებებით, მათი სიმეტრიების შესწავლაც მიმდინარეობს განტოლებების (ან ლაგრანჟიანის) ანალიზით. დიფერენციალურ განტოლებებზე ვერ გესაუბრებით, სამაგიეროდ შემიძლია განვიხილო მარტივი ანალოგია საყოფაცხოვრებო სიტუაციიდან, რაც დაგეხმარებათ წარმოდგენაში.

ფიზიკური პროცესი ასეთია: ნიკოს აქვს 5-ჯერ მეტი ვაშლი, ვიდრე ლიკას (არავითარი სექსიზმი). აღვწეროთ ეს „ფიზიკური პროცესი“ განტოლებით: აღვნიშნოთ ნიკოს ვაშლების რაოდენობა y-ით, ხოლო ლიკას ვაშლების რაოდენობა x-ით. მაშინ, მოცემული ფიზიკური პროცესის აღმწერი განტოლება იქნება:

y=5x

აქვს თუ არა ამ განტოლებას სიმეტრიები? დიახ აქვს. არსებობს გარდაქმნა, რომელიც განტოლებას უცვლელს (ინვარიანტს) ტოვებს, კერძოდ, x ცვლადი გადავიდეს x+10 ში, ხოლო y ცვლადი გადავიდეს y+50 ში. ჩავსვათ ახლა განტოლებაში x-ის მაგიერ x+10, ხოლო y-ის მაგიერ y+50. რას მივიღებთ?

y+50=5x+5*10

50 გაბათილდება ტოლობის ორივე მხარეს, და მივიღებთ ზუსტად იმავე განტოლებას, რაც თავდაპირველია. მაშასადამე, ასეთი გარდაქმნა ფიზიკური პროცესის აღმწერ განტოლებას უცვლელს (ინვარიანტს) ტოვებს.

რეალური ფიზიკური პროცესების აღმწერ განტოლებებს გაცილებით უფრო რთული სახე აქვთ (დიფერენციალური), ხოლო ინვარიანტულ გარდაქმნებს წარმოადგენენ როგორც კოორდინატებისა და დროის გარდაქმნები, ასევე ფიზიკური სიდიდეების (მაგალითად ველების) ცვლილებები. გარდა ამისა, ზემოთ მოცემულ მაგალითში არ გვაქვს ეს შემთხვევა, მაგრამ ფიზიკური პროცესების ყოველ ინვარიანტულ გარდაქმნათა კლასს შეესაბამება რაიმე შენახვადი (დროში მუდმივი) ფიზიკური სიდიდე, როგორც ეს ზემოთ ვთქვით.

10

5. მაგალითები

უკანასკნელად კი თვალი გადავავლოთ მაგალითებს. ყველაზე ახლობელი შენახვის კანონები, რასაც სკოლაშიც ვსწავლობთ, ესენია: იმპულსის შენახვის კანონი, იმპულსის მომენტის შენახვის კანონი, ენერგიის შენახვის კანონი.. საიდან მოდიან ისინი?

ავიღოთ მექანიკური მოძრაობა. დაუშვათ მოძრაობის ხასიათი არ იცვლება სივრცეში რაიმე ღერძის მიმართ. მაგალითად, ჰორიზონტალური მიმართულებით. ეს იმას ნიშნავს, ჩვენს ენაზე, რომ მოცემულ ფიზიკურ პროცესს (ამ შემთხვევაში მოძრაობას) სიმეტრია აქვს ჰორიზონტალური ღერძის მიმართ. ამ შემთხვევაში ინახება იმპულსი ამ ღერძის გასწვრივ.

ასეთი მსჯელობა შესაძლებელია სივრცეში ნებისმიერი ღერძის მიმართ. თუმცა, არ არის აუცილებელი, რომ მხოლოდ ამ ღერძებით შემოვიფარგლოთ. შეიძლება მოძრაობას სიმეტრია ჰქონდეს ბრუნვის მიმართ (ანუ, რაიმე წრიულ მონაკვეთზე ერთგვაროვანი იყოს), მაშინ ინახება შესაბამისი მომენტი - კუთხური მომენტი.

მათემატიკურად ადვილად ითვლება ყველა შენახვადი სიდიდე, რომლებიც სიმეტრიებიდან გამომდინარეობენ. თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ სივრცეში ნებისმიერი სახის წირები და ტრაექტორიები და დაუშვათ, რომ მოძრაობის ხასიათი არ იცვლება ამ ტრაექტორიებზე. მაშინ მათემატიკურად ადვილად დაითვლება ის სიდიდეები, რომლებიც ინახებიან ამ სიმეტრიების გამო. ამ სიდიდეებს კანონიკური მომენტები ეწოდებათ.

არის ერთი ეგზოტიკური მაგალითიც - თუ ფიზიკურ პროცესს სიმეტრია აქვს დროში (ესეიგი, დროის ყოველ მომენტში ერთი და იგივე სახე აქვს), მაშინ ინახება ენერგია.

ეს რაც შეეხებოდა მომენტებისა და ენერგიის შენახვას მექანიკიდან. არსებობს სხვა სახის სიმეტრიები, რომლებიც სხვა სახის სიდიდეების შენახვას იწვევენ. მაგალითად, კვანტურ მექანიკაში ალბათობის სიმეტრიებით შესაძლებელია მივიღოთ მუხტების შენახვის კანონები და ა.შ.

გარდა შენახვის კანონებისა (რომლებიც სამყაროს სტაბილურობის ერთ-ერთი გარანტია), ფიზიკაში სიმეტრიას სხვა გამოვლინებებიც აქვს. მაგალითად, ნაწილაკებისა და ანტინაწილაკების არსებობა, CPT სიმეტრია, და ა.შ. თუმცა, აღარ შევჩერდები იმ თემებზე, რომლებსაც დეტალურად არ ვიცნობ.

ჯერჯერობით სულ ეს იყო..

გააზიარეთ თუ მოგეწონათ..