მათემატიკის სისტემა

შესავალი სიტყვა..

magma-ს ერთ-ერთი ძირითადი მიზანია შემეცნება.

შემეცნების ერთ-ერთი მეთოდია აბსტრაქტული ინტელექტისა და სისტემური აზროვნების გამოყენება.

მათემატიკა წარმოადგენს აბსტრაქტული ინტელექტისა და სისტემური აზროვნების მექანიზმების განვითარების საუკეთესო საშუალებას.

ვისაც სურს მათემატიკას დაეუფლოს - ჯერ ისწავლეთ ლოგიკა, შემდგომ სიმრავლეთა თეორია, და შემდგომ უკვე გემოვნებით..

წარმატებებს გისურვებთ!

სტატიის ავტორი: იოანე შენგელია

მოცემული ტექსტის წაკითხვა რეკომენდირებულია აბიტურიენტებისთვის, რომელნიც მათემატიკის ფაკულტეტზე აბარებენ, ასევე მათთვის, ვისაც სურს თეორიულ ფიზიკაში მოღვაწეობა. და საერთოდაც ყველასთვის, ვისაც სურს ჭეშმარიტი მათემატიკის შემეცნება.

მე დიდი სიამოვნებით გაგიზიარებთ საკუთარ გამოცდილებას ამ სფეროში. დღევანდელ უნივერსიტეტებში, და მითუმეტეს სკოლებში, არ ხდება ყურადღების გამახვილება თავად მათემატიკის არსზე, და ეს იმიტომ, რომ თავად პედაგოგებიც ხშირად ვერ ხედავენ მათემატიკის მთელს სურათს და შესაბამისად - სისტემურ განათლებას ვერ გაწვდიან.

ჩემი რჩევა იქნება, ნუ მიენდობით ბოლომდე ნურავის, და თქვენით ეძიეთ ინტერნეტში (გნებავთ youtube-ში ლექციებში, და გნებავთ წიგნებში) სხვა და სხვა თემატიკასთან დაკავშირებით მასალები, და თქვენით ისწავლეთ. მე კი, ჩემის მხრივ, ვეცდები დაგანახოთ მათემატიკის მთელი სურათი საკუთარ გამოცდილებაზე დაყრდნობით.

მეც ერთი თქვენგანი ვარ, რომელიც უბრალოდ დაინტერესდა მათემატიკით, და წლები დამჭირდა იმისათვის, რომ მათემატიკის არსი გამეცნობიერებინა, და მისი როლი აბსტრაქტული ინტელექტის განვითარებაში. ახლა კი მსურს გაგიზიაროთ ჩემი გამოცდილება.

გააზიარეთ და გაუზიარეთ ეს ტექსტი იმ ადამიანებს, ვისაც სურს მათემატიკის (ასევე, თეორიული ფიზიკის) შემეცნება. იმედი მაქვს, მცირეოდენით მაინც დავაკვალიანებ მათ ამ დიად და გრძელ გზაზე.

მათემატიკის შესახებ...

დასაწყისისთვის გადავხედოთ მათემატიკის „wikipedia“-სეულ განმარტებას:

მათემატიკა — მეცნიერება, რომელიც ეფუძნება აბსტრაგირებას, დედუქციურ მსჯელობას და სიმბოლურ ლოგიკას. ზოგჯერ მათემატიკას აღწერენ როგორც მეცნიერებას რიცხვების, გეომეტრიული ფიგურების და გარდაქმნების შესახებ. უფრო ფორმალური თვალთახედვით მათემატიკა სწავლობს აქსიომატურად განმარტებულ აბსტრაქტულ მათემატიკურ სტრუქტურებს.

ერთი მხრივ მათემატიკა იქმნება წმინდა თეორიული ინტერესების გამო – წმინდა მათემატიკა. მეორე მხრივ მათემატიკური კვლევა სათავეს იღებს საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებიდან, გამოიყენება ინჟინერიაში, მედიცინაში და ეკონომიკაში - გამოყენებითი მათემატიკა.

ტერმინი მათემატიკა ბერძნული წარმოშობისაა, μάθημα (máthema) „მეცნიერებას, ცოდნას, სწავლას“ ნიშნავს, ხოლო μαθηματικός (mathematikós) – „სწავლის მოყვარულს“.

 

გთავაზობთ ცნობილი მეცნიერების გამონათქვამებს მათემატიკაზე

წყარო

 

არითმეტიკა მათემატიკის დედოფალია, მათემატიკა კი - ყველა მეცნიერების.

კარლ გაუსი

 

მათემატიკა არის ანბანი, რომლის შემწეობითაც ღმერთმა აღწერა სამყარო

ნოვალისი

 

მათემატიკას თუნდაც იმიტომ უნდა შესწავლა, რომ მას ჭკუა წესრიგში მოჰყავს

მიხეილ ლომონოსოვი

 

თუ გსურთ მონაწილეობა მიიღოთ დიდ ცხოვრებაში აუცილებლად უნდა დაეუფლოთმათემატიკას!…

მიხეილ კალინინი

 

ბუნება მხოლოდ მათემატიკის ენაზე გვესაუბრება

გალილეო გალილეი

 

მათემატიკა გონების მუსიკაა

უცნობი ავტორი

 

მათემატიკა არის რიცხვების გრამატიკა

ლობერგერი

 

მათემატიკა უფრო მეტად ხელოვნების დარგია

სეკი ტაკაკაძუ

 

მათემატიკა არის უსასრულობის ერთიანი სიმფონია

დავიდ ჰილბერტი

 

მათემატიკა არის ის, რისი მეშვეობითაც ადამიანი მართავს ბუნებასა და თავის თავს.

ანდრეი კოლმოროგოვი

 

მათემატიკა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც მეცნიერება, სადაც არავინ იცის რაზე საუბრობენ და არც ის, მათი ნათქვამი ჭეშმარიტია თუ არა

ბერტან რასელი

 

მათემატიკა არის ბუნების საიდუმლოებებში შეღწევის უმთავრესი იარაღი

ილია ვეკუა

 

მათემატიკა თაგვის ხაფანგია, ვინც ერთხელ ამ ხაფანგში ამოყოფს თავს იშვიათად თუ იპოვის გამოსასვლელს, რომელიც მას უკანვე მიიყვანს თავის წინა მათემატიკურ მდგომარეობაში.

ეგმონტ ფონ კოლერუსი

 

 

მათემატიკის ისტორია (ცნობები აღებულია wikipedia-დან)

მათემატიკა ერთ-ერთი უძველესი მეცნიერებაა. მან პირველი აღმავლობა ძველ საბერძნეთსა და ელინისტურ სამყაროში განიცადა. აქ პირველად დაინერგა მისწრაფება „წმინდა ლოგიკური დამტკიცებებისკენ“. აქვე გაჩნდა პირველი აქსიომატიზაცია, კერძოდ ევკლიდეს გეომეტრია. შუა საუკუნეებში მათემატიკა არსებობას განაგრძობდა ადრეული ჰუმანიზმის უნივერსიტეტებსა და არაბულ სამყაროში.

ადრეულ ახალ დროში ფრანსის ვიეტიმ შემოიტანა ცვლადის ცნება. რენე დეკარტმა კი, საკოორდინატო სისტემის შემოტანით გზა გაუხსნა გეომეტრიისადმი გამოთვლით მიდგომას. მოგვიანებით გოტფრიდ ლაიბნიცმა და ისააკ ნიუტონმა საფუძველი ჩაუყარეს უსასროლოდ მცირეთა ანალიზს.

გვიანდელი ახალი დროის სხვა მნიშვნელოვანი ამოცანა იყო უფრო და უფრო რთული ალგებრული განტოლებების ამოხსნა. ამ საკითხების კვლევისას ნ. ჰ. აბელი და ე. გალუა მივიდნენ ჯგუფის ცნებამდე, რაც თანამედროვე ალგებრის შექმნის ერთ-ერთი წინაპირობა იყო. მე–19 საუკუნის განმავლობაში ა. ლ. კოშის და კ. ვაიერშტრასის შრომებში განხორციელდა უსასროლოდ მცირეთა ანალიზის ზუსტი ჩამოყალიბება. ჟ. ა. პუანკარემ შექმნა ტოპოლოგია. ამავე საუკუნის ბოლოს გ. კანტორმა შექმნა სიმრავლეთა თეორია, რამაც დიდი გავლენა იქონია მათემატიკის შემდგომ განვითარებაზე.

მე–20 საუკუნის პირველი ნახევრში მათემატიკა გერმანელი მათემატიკოსის დ. ჰილბერტის მიერ შემუშავებული ე.წ. „ჰილბერტის პროგრამის“ გავლენას განიცდიდა, რაც მათემატიკის მთლიან აქსიომატიზაციას გულისხმობდა. ამავე დროს მათემატიკაში სულ უფრო ძლიერდება აბსტრაქცია, ე.ი. ცნებების მათ არსებით თვისებებზე დაყვანის ტენდენცია. ამგვარად, სხვა მათემატიკოსებთან ერთად ე. ნეოტერმა საფუძველი ჩაუყარა აბსტრაქტულ ალგებრას, ფ. ჰაუსდორფმა ზოგად ტოპოლოგიას, ს. ბანახმა ფუნქციონალურ ანალიზს. აბსტრაქციის კიდევ უფრო მაღალ საფეხურძე, მათემატიკის სხვადასხვა დარგებში მსგავსი კონსტრუქციების დაკვირვებით ს. აილენბერგმა და ს. მაკლეინმა შექმნეს კატეგორიათა თეორია.

მათემატიკის სტრუქტურა (ცნობები აღებულია wikipedia-დან)

მათემატიკა ფორმალური ენის გამოყენებით სწავლობს წარმოსახვით, იდეალურ ობიექტებს. ეს ობიექტები მოიცემა ფორმალური აღიწერით, განმარტებების საშუალებით.

მათემატიკა დედუქციური მეცნიერებაა. ეს ნიშნავს რომ, მისი თითოეული მტკიცებულება - თეორემა მიიღება სხვა უკვე ცნობილი თეორემების საფუძველზე, დამტკიცების საშუალებით. პირველადი წინადადებები, ე.წ. აქსიომები მიიღება დაუმტკიცებლად და მოცემული მათემატიკური თეორიის ლოგიკურ საფუძველს წარმოადგენს.

შესწავლის საგნისა და მეთოდების მიხედვით საბაზისო მათემატიკა შეიძლება დაიყოს სამ ნაწილად: ალგებრა, ანალიზი, გეომეტრია. თუმცა ეს დაყოფა ძალზედ პირობითია და მათემატიკის შედარებით მაღალ საფეხურებზე კარგავს მნიშვნელობას.

უმაღლესი მათემატიკის უფრო კონკრეტული მიმართულებებია: აბსტრაქტული ალგებრა, წრფივი ალგებრა, კატეგორიათა თეორია, ალგებრული გეომეტრია, ალგებრული ტოპოლოგია, დიფერენციალური ტოპოლოგია, ფუნქციონალური ანალიზი, კომპლექსური ანალიზი, რიცხვითი ანალიზი, დიფერენციალური განტოლებები, მათემატიკური ფიზიკა, მათემატიკური ლოგიკა, ალბათობის თეორია, დისკრეტული მათემატიკა და ა.შ.

ეს მიმართულებებიც მჭიდროდ არიან ერთმანეთან დაკავშირებული და ინტენსიურად იყენებენ ერთიმეორის შედეგებს და მეთოდებს. მათი უმრავლესობა შეიძლება ისევ დავყოთ კიდევ უფრო ვიწრო დარგებად. მაგალითად, აბსტრაქტული ალგებრიდან გამოიყოფა კომუტატური ალგებრა, უნივერსალური ალგებრა, ჯგუფთა თეორია და სხვა, დისკრეტული მათემატიკის ქვედარგებია გრაფთა თეორია, კომბინატორიკა, თამაშების თეორია და სხვა.

ახლა კი გთავაზობთ უკვე ჩემს პირად დამოკიდებულებას მათემატიკისადმი.

აბსტრაქტული ინტელექტი და მათემატიკა

ბუნება მეტყველებს მათემატიკის ენაზე...

რატომ მათემატიკა?

როგორც magma-ს მკითხველს მოეხსენება, ჩვენი მიზანია "ჭეშმარიტი შემეცნება". რა არის ამისთვის საჭირო? ცხადია, სამყაროს ინფორმაციული ველიდან ინფორმაციის მიღების სხვა და სხვა საშუალებები არსებობს, მათ შორის მრავალი ეზოთერული პრაქტიკა, და ა.შ. "მაგმა"-საც აქვს თავისი პრაქტიკუმების სისტემა, რომელშიც გაერთიანებულია სხვა და სხვა ეზოთერული სისტემები, და რომელიც დაეხმარება ადამიანებს ე.წ. "ჭეშმარიტ შემეცნებაში", საკუთარ თავში გარკვევასა და საკუთარი და საზოგადოებრივი ბედნიერების მოპოვებაში.

მაგრამ, ამ ყველაფერთან ერთად არსებობს ინფორმაციის მიღებს შედარებით თანამედროვე გზა - მეცნიერება, რომელიც ჭეშმარიტ ინფორმაციად მიიჩნევს იმას, რომელიც უპირობოდ დადასტურებულია ექსპერიმენტუალად, და გამართულია ლოგიკურად.

რისთვის გვჭირდება აბსტრაქტული ინტელექტი? ეს სჭირდება ყველა იმ ადამიანს, რომელსაც სურს შემეცნება, რადგან.. რადგან.. მოდი მივყვეთ ნაბოჯ-ნაბიჯ:

მეცნიერის (მე "მეცნიერს" ვუწოდებ ყველა იმ ადამიანს, ვისაც სურს შემეცნება, და არა მარტო მათ, ვისაც ოფიციალურად ჰქვიათ მეცნიერები, როგორც ამ პროფესიის წარმომადგენლებს) მიზანია შეიმეცნოს რაიმე პროცესი. რას აკეთებს ის ამისთვის? და რას ნიშნავს შემეცნება?

როდესაც აკვირდები რაიმე პროცესს, ან რაიმე მოვლენას, არ აქვს მნიშვნელობა ეს რა იქნება. მთავარია, რომ ეს არის რაიმე სისტემა, რომელიც ფუნქციონირებს გაკრვეულ კანონზომიერებებზე დაყრდნობით. შემეცნება გულისხმობს ამ ფარული კანონზომიერებების აღმოჩენას, ესეიგი, სისტემის თავიდან ბოლომდე გაშიფვრას. მეტიც, ნებისმიერი სისტემის, ესეიგი, ნებისმიერი კანონზომიერებების უკან დგას რაიმე საწყისი პრინციპები, რომლიდანაც გამომდინარეობს ყველა დანარჩენი კანონი.

შემეცნება გულისხმობს ამ თავდაპირველი მიზეზების პოვნასაც, ესეიგი, სისტემის თავდაპირველი პრინციპების აღმოჩენასაც, რომელსაც შეგვიძლია სისტემის არსიც ვუწოდოთ, რადგან ყოველი დანარჩენი ამ არსიდან გამომდინარეობს. მათემატიკის დარგები შეიქმნა და განვითარდა იმისთვის, რომ სხვა და სხვა ლოგიკური სისტემები შეესწავლათ. მათემატიკის ნებისმიერი დარგი წარმოადგენს ლოგიკურად გამართულ სისტემას, და ზოგიერთი დარგი სწორედ რომ აბსტრაქტულ მოდელს წარმოადგენს რაიმე კონკრეტული ფიზიკური რეალობის.

ამ სტილს, ალბათ ყველა იცნობს, ვისაც კი ჰქონია რაიმე სისტემის შემეცნების პრაქტიკა. მაგალითად, ის ადამიანები, ვინც ყველაფერში არსს ეძიებენ, რელიგიებში, ეზოთერულ დისციპლინებში, და ა.შ. მიჩვეულნი არიან თავიდანვე დასვან შეკითხვები, ეძიონ პირველ მიზეზები. რატომ ასე? საიდან მოდის ეს? სად არის პირველი მიზეზი, რომლიდანაც ესა თუ ის კანონი მიიღება? ასე რომ, ამ მიზეზ-შედეგობრივ ხედვას მიჩვეულნი არიან ეს ადამიანები.

რა როლი აკისრია მათემატიკას? ის უბრალოდ წარმოადგენს აზროვნების ასეთი მოდელის სავარჯიშოს. მათემატიკის დარგებშიც ასეა და ეს შეკითხვები ისმის: რატომ ასე? საიდან მოდის ეს? სად არის პირველი მიზეზი, რომლიდანაც ესა თუ ის კანონი (მაგალითად თეორემა) მიიღება? მაგრამ, მათემატიკაში ყველაფერი მკაცრად არის განსაზღვრული და გაუგებრობებსა და ბუნდოვნებებს არ აქვს ადგილი. მათემატიკაში პრაქტიკა გავლილ ადამიანში უფრო ხშირად იბადება "საკვანძო" შეკითხვები.

ცხადია, არ ვაკნინებ არავის აბსტრაქტულ ინტელექტს, და არ გამოვყოფ მათემატიკოსებს, როგორც განსაკუთრებულ ადამიანებს (მითუმეტეს, აქ არც მაქვს საუბარი კონრკეტულ ადამიანებზე, არამედ თავად მათემატიკის არსზე). უბრალოდ, იმის თქმა მსურს, რომ მათემატიკა წარმოადგენს აბსტრაქტული ინტელექტის სავარჯიშოს, და რაც უკეთ ფლობს ადამიანი მათემატიკას, მით უკეთ ორიენტირდება სისტემურ შემეცნებაში, რადგან აქვს სისტემების მოდელირების გამოცდილება.

მაგალითად, რომ ავიღოთ ორი ერთი და იგივე ადამიანი (პირობითად წარმოვიდგინოთ :)), რომლიდანაც ერთს არ აქვს მათემატიკაში მუშაობის გამოცდილება, მეორეს კი აქვს. მათ შეკითხვაზე, თუ რატომ ხდება ასე და ასე, პასუხი, რომელიც პირველს დააკმაყოფილებს, მეორეს შეიძლება არ აკმაყოფილებდეს. მეორე ყოველთვის უფრო ეძიება და უფრო მეტად ცდილობს ბუნდოვნება მოაცილოს, და რაც შეიძლება ზუსტად დაინახოს სისტემის ლოგიკური სტრუქტურა. რადგან, ის მიჩვეულია, რომ გაურკვეველი და ბუნდოვანი არაფერი არ არის.

ხშირად, ასეთი "ლოგიკური იდეალიზმი" მათემატიკოსებს ჩიხში აქცევს ხოლმე, რადგან ისინი კარგავენ იმ ხიბლის შეგრძნებას, რასაც მცირეოდენი ბუნდოვნება იწვევს, და ჩანან, როგორც მეტად მშრალი ადამიანები. ზოგიერთმა შეიძლება იფიქროს, რომ მათემატიკა, თავისი განსაზღვრულობის და "ლოგიკური იდეალიზმის" გამო, კლავს ადამიანში თავისუფალი შემოქმედების უნარს.

მე ვიტყოდი, რომ ფანტაზიის უნარის გარეშე მათემატიკაში ვერ გაერკვევი. მეტიც, მე მათემატიკას განვმარტავდი შემდეგნაირად: ფანტაზიისა და ლოგიკის სინთეზი. შეიძლება, დასაწყისისთვის მათემატიკამ გააქროს თავისუფალი შემოქმედების უნარები, მაგრამ, მოგვიანებით, როდესაც ადამიანი პროფესიონალი ხდება და კარგად ერკვევა მათემატიკის არსში, მასში იღვიძებს შემოქმედი, მხოლოდ უკვე სხვანაირი. ეს შემოქმედი იგონებს საწყის აქსიომებს და მათზე დაყრდნობით აგებს სისტემას, მთელი თავისი სილამაზით. მათემატიკური შემოქმედება, ანუ მათემატიკის დარგების შექმნა, მისთვის ხდება ყველაზე სახალისო პროცესი.

ეს ტენდენცია საბოლოოდ იწვევს ლოგიკურად გამართული სისტემების ჩამოყალიბებისკენ სწრაფვას. ის ქმნის ლოგიკურად გამართულ მოდელებს, ითვალისწინებს რა ყველაფერს. ეს სასარგებლოა პრაქტიკული მიზნებისთვის: ადამიანს შეუძლია მაქსიმალური სიზუსტით დაგეგმოს ყველაფერი, პოლიტუკური და ეკონომიკური სტრუქტურები, სხვა და სხვა ორგანიზაციების განვითარება, და ა.შ. რადგან, ვიმეორებ: მათემატიკა ანვითარებს სისტემურ აზროვნებას და აბსტრაქტულ ინტლექტს.

რა ხდება სკოლებში დღეს?

დღევანდელ სკოლებში (საქართველოში) არ არის გამახვილებული ყურადღება მთავარზე. კი გვასწავლიან მათემატიკას, რომელიც წარმოადგენს კიდეც სისტემური აზროვნების აპარატს, მაგრამ ამის შესახებ სკოლაში არ იციან მოსწავლეებმა, და ეს მხოლოდ მოგვიანებით ერთეულებმა შეიძლება გაიგონ, თუ სერიოზულად დაინტერესდებიან მათემატიკით. სხვებისთვის კი, მათემატიკა ასოცირდება ტანჯვასთან და ყველაზე რთულ საგანთან. ეს კი იმის ბრალია, რომ ხშირად თავად მასწავლებლებსაც არ ესმით მათემატიკის არსი, და აბა სხვას როგორ უნდა აუხსნან არსობრივად??

შეიძლება ზოგიერთს გაუკვირდეს, როცა ვიტყვი, რომ ყველაზე მარტივი საგანი არის სწორედ მათემატიკა, იმაზე უფრო მარტივი, ვიდრე ფილოლოგია და ფილოსოფიაა. რატომ? იმიტომ, რომ მათემატიკაში ყველაფერი განსაზღვრულია. არ არსებობს ბუნდოვნება და გაუგებრობა, იქ ყველაფერი მტკიცდება (მოცემული მათემატიკური დარგის ფარგლებში). სხვა საქმეა, რამდენად ეხალისება მოცემულ ადამიანს გონების და კონცენტრაციის დაძაბვა, რათა ფუნდამენტალურად იმსჯელოს. მაგრამ, თავისი არსით, მათემატიკა ზუსტია, ამიტომაც ყველაზე მარტივია, რადგან არ არსებობს თავისუფალი შემოქმედება, როგორც მაგალითად ფილოსოფიაში ან ესეების წერაში.

თუ მკითხველს არ ესმის ეს, რაზეც ზემოთ ვსაუბრობ, ესეიგი, მან ჯერ კიდევ არ იცის მათემატიკის არსი რა არის, და ჩემი მიზანია, პირველ რიგში, სწორედ ამაში გავარკვიო მკითხველი..

რა პრაქტიკული გამოყენება შეიძლება ჰქონდეს მათემატიკას?

1. 1. მათემატიკის ცოდნით, უფროსწორი იქნებოდა გვეთქვა - აბსტრაქტული ინტელექტის ფლობით - ადამიანი მიდრეკილი იქნება ყველა პროცესის და მოვლენის მიღმა ეძებოს პირველმიზეზები, დაფარული კანონზომიერებები, ფარული სისტემები, ქვე და ზე სისტემები.

2. 2. მათემატიკის მცოდნე ადამიანი მიდრეკილი იქნება ყველაფერს შეხედოს კრიტიკულად, დასვას შეკითხვები, საკვანძო მომენტები ხელიდან არ გაუშვას, არ დატოვოს არაფერი გაუგებარი და ბუნდოვანი, უმცირეს დეტალებამდეც კი. ის მიდრეკილი იქნება უცნობის სრულყოფილი გაშიფვრის მცდელობისკენ. ვიმეორებ - სრულყოფილი გაშიფვრის.

3. 3. კრიტიკული აზროვნება = თავისუფლებას. ეს იმ შემთხვევაში მოხდება, თუ ადამიანი თავის მათემატიკურ აპარატს მიმართავს გარე სამყაროს და შინაგანი სამყაროს შეცნობისკენ, და არ გამოიყენებს მას მხოლოდ აბსტრაქტული და გამოგონილი ობიექტების შესასწავლად.

მე პირადად, სწორედ მათემატიკური პრაქტიკა დამეხმარა კრიტიკული აზროვნების განვითარებაში, რაც საბოლოოდ საწინდარია ინდივიდუალურობის და წარმატების.

ბოლო-ბოლო რა არის მათემატიკა?

ზოგისთვის ის მეცნიერებაა, ზოგისთვის ის კრიტიკული აზროვნება.. მე ვიტყოდი, რომ დღესდღეობით მათემატიკის ყველაზე უნივერსალური ფუნქციაა გამოიკვლიოს და შექმნას ადამიანის აზროვნების მოდელები, შემეცნების მეთოდები, ინტელექტუალური ინსტრუმენტები. მათემატიკის სხვა და სხვა დარგები სხვა არაფერია, თუ არა მცდელობა სხვა და სხვა ტიპის სისტემების შესწავლისა, მათი მოდელების შექმნისა.

მეტიც, მათემატიკა ამარტივებს მსჯელობას, რადგან ქმნის მსჯელობის მოდელს. მაგალითად, თქვენ მსჯელობთ ლოგიკურად და თქვენი მსჯელობა მოიცავს რამდენიმე წინადადებას, რომელიც რამდენიმე სტრიქონში ეტევა. "ლოგიკის" ენაზე კი მთელი ეს თქვენი მსჯელობა შეიძლება ჩაწერილ იქმნას ერთ ფორმულაში, რომელსაც ერთი სტრიქონი ჰყოფნის.

თავიდან შეიძლება არ მიიღოს ადამიანმა ასეთი ფორმალიზმი, მაგრამ შემდგომში ეს სახალისო ხდება და ლოგიკა იქცევა მექანიკურ აპარატად, რომელიც თავისით მუშაობს. და ეს ყველაფერი იმიტომ, რომ გაამარტივოს მათემატიკის "წაკითხვა".

მოკლედ, ამაში თავად დარწმუნდებით, თუ მათემატიკას ისწავლით.

როგორ მუშაობს მათემატიკა

მათემატიკა ქმნის შესასწავლი ობიექტის თუ პროცესის მოდელს. საქმე ის არის, რომ ნებისმიერი შესასწავლი ობიექტი, იქნება ეს რაიმე სხეული, ან სხეულთა ერთობლიობა, ან მოძრაობა, ან სხვა ნებისმიერი ტიპის პროცესი, წარმოადგენს სისტემას. ნებისმიერი რამ არის სისტემა. მათემატიკის ამოცანაა ამ სისტემის რაც შეიძლება ანალოგიური და ადექვატური აბსტრაქტული მოდელი შექმნას. ესეიგი, ასახოს ფიზიკური რეალობა აბსტრაქტულ იდეებში და შექმნას მისი ანალოგი, ასე ვთქვათ, გონებრივი სიმულაცია.

თუ კი მოდელი შეიქმნა, მაშინ ავტომატურად დგას მეორე ამოცანა: შეიქმნას თეორია, ანუ გაირკვეს ის ფუნდამენტალური კანონზომიერებები, რომლითაც მოცემული სისტემა ფუნქციონირებს. თუ შესასწავლი სისტემა იხილვება მთელი ხედვით, ანუ ერთიანად, მაშინ მასზე დიდ ხნიანი დაკვირვებების შედეგად შესაძლოა აღმოჩენილ იქნას კანონზომიერებები. აი აბსტრაქტულ მოდელთან მუშაობა უფრო ადვილია, ვიდრე რეალობასთან. თუმცა რა მნიშვნელობა აქვს - მთავარია კანონზომიერებები აღმოვაჩინოთ, რის შემდეგაც ვაყალიბებთ თეორიას იმის შესახებ, თუ როგორ ფუნქციონირებს მოცემული სისტემა.

თეორია აიგება კანონზომიერებებზე დაყრდნობით, ანუ ისეთი უნდა იყოს საწყისი პრინციპები, რომ მათგან ლოგიკურად გამომდინარეობდეს აწ უკვე არსებული კანონზომიერებები. ეს ძიება მიმდინარეობს უკვე აბსტრაქტულ მოდელთან, ანუ გონებაში. ამ ყველაფრის კვლევისთვის კი აუცილებელია სისტემური აზროვნება, რასაც ხელს უწყობს და ანვითარებს მათემატიკის ცოდნა.

ამრიგად, მათემატიკა არის შემეცნების მექანიზმების დახვეწა და ფლობა. მაგრამ, ამას ვერ გაიგებ, თუ თავად არ გამოსცადე და არ გაიგე ცოტათი მაინც მათემატიკის "გემო".

ჩვენ ყველას გაგვიკეთებია სკოლაში ამოცანები განტოლებების შედგენაზე: გიამ 5 შეშით მეტი დაჩეხა ვიდრე ლუკამ. ჯამში დაჩეხეს 14. ვინ რამდენი დაჩეხა?

ეს არის კარგი მაგალითი იმისა, თუ როგორ მუშაობს მათემატიკა. იქმნება აბსტრაქტული განტოლება (განტოლებათა სისტემა)

x+5=y

x+y=14

რომელიც აღწერს მოცემულ ფიზიკურ პროცესს. მისი ამოხსნა კი გვაძლევს პასუხს. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ამის მსგავსია ყველაფერი სამყაროში, ოღონდაც უფრო მაღალ დონეზე და უფრო რთული მათემატიკით. რეალურ ფიზიკურ პროცესებს საკმაოდ რთული მათემატიკა სჭირდება, და არა მარტო ფიზიკურ, არამედ სოციალურ, ეკონომიკურ, პოლიტიკურ და ა.შ..

მაშასადამე, რაც უფრო უკეთ იცი მათემატიკა, მით უფრო რთული სისტემური ამოცანების გადაწყვეტა შეგიძლია. აზროვნება არ არის მარტივი, მაგრამ ის განვითარებადია.. ყველაზე დიდი პრობლემა ქვეყანაში ის არის, რომ სკოლებში არ გვასწავლიან აზროვნების მეთოდებს, არც იმას გვეუბნებიან, რომ მათემატიკა იგივე აზროვნების მექანიზმია.. დიდი-დიდი, ეს შეიძლება ერთეულებმა გაიგონ, და ესეც იმათმა, ვისაც მეცნიერებაში სურს მოღვაწეობა და არა სოციალურ-პოლიტიკურ აქტივობებში.

ხოლო მათ, ვისაც საქვეყნო პასუხისმგებლობა უნდა აიღონ საკუთარ თავზე, მათემატიკა არ აინტერესებთ და ერთადერთი თუ არა ძირითადი პირობა, რასაც უნდა აკმაყოფილებდნენ, არის "ქარიზმა და ადამიანების მოხიბვლის უნარი". მაგრამ, როგორ უნდა ააშენოს ქვეყანა ადამიანმა, რომელსაც ელემენტარული სკოლის დონის ფიზიკის ამოცანის გადაჭრაც კი უჭირს და გონებას არ ძაბავს ზედმეტად, რათა არ დაღალოს..

ქვეყნის აშენება დიდი სისტემური ამოცანაა, და ამისთვის საჭიროა როგორც მინიმუმ მათემატიკის კარგი ცოდნა (სისტემური ხედვის დახვეწილი და კარგად განვითარებული უნარი), ხოლო მაქსიმუმ ფიზიკის ცოდნაც.. რატომ ფიზიკა?

ფიზიკა იმიტომ, რომ მხოლოდ მათემატიკოსები ზოგჯერ ფანტაზიების სამყაროში ცხოვრობენ ხოლმე. ხოლო ფიზიკოსები, ფლობენ რა მათემატიკას, ისინი არ იკარგებიან აბსტრაქტულ იდილიაში, არამედ რეალობიდან გამომდინარე სვავენ სისტემურ ამოცანებს და ცდილობენ გადაჭრან ისინი ყველა ფიზიკური ნიუანსის გათვალისწინებით, და არა ზედაპირულად, მიჩქმალვით.. დიახ, მართლა ყველაფრის გათვალისწინებით..

ადამიანებისთვის, რომელთაც არ ჰქონიათ ახლო და საფუძვლიანი ურთიერთობა ფიზიკა-მათემატიკასთან, რთულია იმის დაჯერება, რომ მათი ინტელექტი ბევრად უფრო განსხვავდება სხვა მეცნიერების ინტელექტისგან. გინდა ფილოსოფისი აიღე, გინდა გეოგრაფი.. მათ არ ესმით და ვერც გაიგებენ კარგა ხანი, სანამ თავად არ შეიცნობენ, თუ რა არის მათემატიკის არსი. ამას კი რამდენიმე წელი მაინც სჭირდება მუშაობა, ეს რომ გაიგო.

ისევ ვიმეორებ: მე არ ვაკნინებ არავის ინტელექტს, უბრალოდ მსურს ხაზი გავუსვა თავად მათემატიკის სიკეთეებს.

მომიტევეთ, თუ ცოტაოდენ ვაჭარბებ და არც სხვა მეცნიერების ინტელექტის დისკრიმინაცია მსურს. უბრალოდ, საკუთარი გამოცდილებიდან ვსაუბრობ იმაზე, რაც ნამდვილად ვიცი. პრობლემა ის არის, რომ ასეთი ადამიანების ძირითადი ამოცანა მხოლოდ სამყაროს შეცნობაა, და მათ დიდად არ ადარდებთ პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრა საზოგადოებაში (ხშირად ხდება ასე). მხოლოდ ერთეულები გამოჩნდებიან ხოლმე ისედაც ამ ერთეულ ხალხში, და საკუთარ თავზე იღებენ გეგმების შედგენას პრაქტიკული პრობლემების აღმოსაფხვრელად საზოგადოებაში. რაც მეტი ადამიანი იქნება ასე, მით უკეთესი..

სწორედ ამიტომ, ჩემი მიზანია რეკომენდაცია გავუწიო პირველ რიგში მათემატიკას, ოღონდ ჭეშმარტ მათემატიკას და არა მაინცა და მაინც იმას, რასაც სკოლაში ასწავლიან. ჩემი მიზანია მათემატიკის ზოგადი სურათი დაგანახოთ, ზოგადი არსი, და თუ ვინმეს მისი სერიოზულად შესწავლის სურვილი გაგიჩნდებათ, გარკვეული ნიადაგი გექნებათ წინასწარვე შემზადებული.

მათემატიკის "ჩონჩხი"

როგორც ვთქვით, მათემატიკის დარგები წარმოადგენენ სისტემებს, თანაც ლოგიკურ სისტემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქმნას სხვა და სხვა რეალური სისტემების აღწერისთვის. საერთოდაც, ნებისმიერი რეალური სისტემა ლოგიკურია, უბრალოდ, ხანდახან ვერ ხერხდება მისი ზუსტი ლოგიკური მოდელის შექმნა (მისი სირთულის გამო) და ამიტომაც ვერ იქმნება მისი შესაბამისი მათემატიკა, ანუ ზუსტი თეორია ამ რეალური სისტემისთვის. მაგრამ, ეს იმას არ ნიშნავს, რომ ის არ არსებობს ინფორმაციულ ველში. უბრალოდ, სირთულის გამო ადამიანმა ჯერ ვერ ჩამოაყალიბა, მაგრამ, ძირითადად ეს დროის ამბავია ხოლმე.

ისმის შეკითხვა: არსებობს თუ არა მათემატიკური დარგების კლასიფიკაცია, ანუ როგორია თავად მათემატიკის სისტემა?

მოდი მივყვეთ თავიდან.. მათემატიკური დარგი წარმოადგენს გარკვეულ სისტემას. რა არის სისტემა? ეს არის ობიექტების სიმრავლე, რომელთა შორისაც არსებობს გარკვეული კავშირები. სისტემის ასეთ განამარტებას შეხვდებით ოფიციალურ განმარტებით ლექსიკონში.

ახლა განვმარტოთ მათემატიკური სივრცე: ეს არის გარკვეული ობიექტების სიმრავლე, რომელსაც გააჩნია სტრუქტურა. ცხადია, "სტრუქტურის" არსებობა და "კავშირების" არსებობა, ექვივალენტურია. სტრუქტურაში იგულისხმება კავშირები, და პირიქით.

ყველაზე ტრივიალური მათემატიკური დარგია სიმრავლეთა თეორია, რადგან ეს უკანასკნელი სწავლობს სიმრავლეებს, რომელთაც არ გააჩნიათ სტრუქტურა, ანუ კავშირები (პირადად მე, ასეთ მათემატიკურ სივრცეს ვუწოდებ - სივრცეს "ნულოვანი სტრუქტურით"). სიმრავლე არის უბრალოდ ობიექტების სიმრავლე, ყოველგვარი სტრუქტურის გარეშე, უბრალოდ სიმრავლეა, ელემენტების ერთობლიობაა.

ამრიგად, მათთვის, ვისაც სურს მათემატიკა საფუძვლიანად ისწავლოს, პირველ რიგში უნდა "შეისისხლხორცოს" ლოგიკა, როგორც ნებისმიერი მათემატიკური დარგის დაწერა/წაკითხვის "გრამატიკული წესები", და შემდგომ - სიმრავლეთა თეორია, როგორც ფუძე ნებისმიერი მათემატიკური დარგისა. რადგან, ნებისმიერი მათემატიკური დარგი იწყება სიმრავლეების შემოტანით, და მხოლოდ მას მერე ემატება ამ სიმრავლეს სხვა და სხვა ტიპის სტრუქტურები.

როცა ადამიანი უკვე ფლობს მათემატიკის წაკითხვის ენას (ლოგიკას), და იცის ყველაფერი სიმრავლეებზე, შემდგომ მას უკვე შეუძლია შეისწავლოს სხვა მათემატიკური სივრცეები, რადგან ყოველ მათგანში გამოყენებული იქნება სიმრავლეთა თვისებები და მახასიათებლები, და დამატებით გარკვეული სიახლეები, რომელსაც შეგვიძლია ვუწოდოთ მოცემული სივრცის სტრუქტურა.

როგორი ტიპის შეიძლება იყოს სტრუქტურა? ეს შეიძლება იყოს გარკვეული ოპერაციები, სიმრავლის ელემენტებისგან სხვა ელემენტების მიღება, სიმრავლის ელემენტების დალაგება, და ა.შ. მოკლედ, მათემატიკოსების ფანტაზიას საზღვარი არ აქვს.. სტრუქტურა არსებობს უამრავი სახის, და შესაბამისად მათემატიკური დარგიც უამრავია. (ფიზიკურად ვერ ჩამოვთვლი ასე ორ-სიტყვაში თუნდაც იმ სტრუქტურებს, რომელთაც მე ვიცნობ).

ახლა კი, ჩვენს მიერ ზემოთ დასმულ შეკითხვაზე პასუხი: კლასიფიკაცია ხდება სწორედ ამ სტრუქტურების მიხედვით. ანალოგიური სტრუქტურების მქონე სივრცეები ეკუთვნიან ერთ მათემატიკურ კატეგორიას. ამრიგად, მათემატიკის სივრცეები იყოფიან კატეგორიებად. არსებობს კიდეც ასეთი მათემატიკურ დარგი - კატეგორიათა თეორია, რომელიც სწავლობს უკვე მათემატიკურ სივრცეებს შორის კავშირებს.

მოკლედ, ყველაფერი სისტემურია მათემატიკაში და სწორედ ამიტომ ანვითარებს მათემატიკა სისტემურ აზროვნებას.

რეზიუმე:

magma-ს ერთ-ერთი ძირითადი მიზანია შემეცნება.

შემეცნების ერთ-ერთი მეთოდია აბსტრაქტული ინტელექტისა და სისტემური აზროვნების გამოყენება.

მათემატიკა წარმოადგენს აბსტრაქტული ინტელექტისა და სისტემური აზროვნების მექანიზმების განვითარების საუკეთესო საშუალებას.

ვისაც სურს მათემატიკას დაეუფლოს - ჯერ ისწავლეთ ლოგიკა, შემდგომ სიმრავლეთა თეორია, და შემდგომ უკვე გემოვნებით..

წარმატებებს გისურვებთ!

მათთვის კი, ვისაც სურს უფრო საფუძვლიანად გაეცნოს მათემატიკის სისტემას, ვთავაზობ მის ზედაპირულ მაგრამ არსობრივ აღწერას "ადამიანურ ენაზე", ესეიგი, ყოველგვარი მათემატიკური ფორმალიზმის გარეშე. (გა

მათემატიკის სისტემა კატეგორიათა თეორიის მოდელით

წინა ნაწილში მცირეოდენი უკვე ითქვა მათემატიკის "ჩონჩხის" შესახებ. ითქვა, რომ თავდაპირველად უნდა შევისწავლოთ ლოგიკა და სიმრავლეთა თეორია, შემდგომ კი ყველაფერი დანარჩენი. თუმცა, აქ უფრო დაწვრილებით აღვწერ მათემატიკის სისტემას, მაგრამ, ვეცდები ყველასათვის გასაგები ენით ვისაუბრო.

კატეგორიათა თეორია წარმოადგენს დღევანდელი მათემატიკის მწვერვალს და მათემატიკის დარგების ყველაზე უფრო უნივერსალურ ხედვას. კატეგორიათა ენაზე მათემატიკის დარგები ჩანან, როგორც შენობები, ჩალაგებული რაიმე ქალაქში, თავისი გზებითა და მიმოსვლის საშუალებებით.

კატეგორიათა თეორია ისწავლება მას მერე, რაც უკვე მათემატიკის სხვა და სხვა დარგებს გაეცნობა ადამიანი. თუმცა, მე პირადად ვფიქრობ, რომ თავიდანვე სჯობს მათემატიკის მთელი სურათის დანახვება სწავლის მსურველისთვის, რათა იცოდეს რასთან აქვს საქმე, და ასე უფრო კორექტულად დაისახავს შემეცნების გეგმას და ორიენტირს.

სწორედ ამიტომ, ვეცდები ზედაპირულად, მაგრამ არსობრივად, აღგიწეროთ მათემატიკის სისტემა ყველაზე უფრო ფართო და ზოგადი თვალთახედვით, და ამას ეტაპობრივად გავაკეთებთ:

მათემატიკური სივრცე

მათემატიკური სივრცე ეწოდება წყვილს {S, D}, სადაც S რაიმე არაცარიელი სიმრავლეა, ხოლო D რაიმე სტრუქტურაა.

ძალიან აბსტრაქტულად ხომ არ ჟღერს?. შეიძლება, თუმცა ინტუიციურ დონეზე გასაგებია ყველაფერი. მათემატიკური სივრცე არის რაიმე ელემენტების სიმრავლე, რომელსაც გააჩნია სტრუქტურა, ესეიგი, გარკვეული ტიპის კავშირები ელემენტებს შორის.

თუ მათემატიკურ სივრცეს სტრუქტურა არ გააჩნია, მაშინ ის უბრალოდ სიმრავლეა, და მაშასადამე საქმე გვაქვს სიმრავლესთან. სიმრავლისთვის არ არსებობს განსაკუთრებული ელემენტები, არ არსებობს რაიმე სახის იერარქია ელემენტებს შორის, არ არსებობს არავითარი განსხვავება მათ შორის, და ა.შ. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი წარმოადგენს სტრუქტურის რაიმე სახეს, მაშასადამე ასეთი ობიექტები უკვე სივრცეები იქნებიან.

რა ტიპის შეიძლება იყოს სტრუქტურა? როგორც წინათ ვახსნე, სტრუქტურის ცალსახად განმარტება შეუძლებელია. მაგრამ, ვეცდები რამდენიმე მაგალითზე დაგანახოთ ძირითადი იდეა:

მაგალითად, ტოპოლოგიური სტრუქტურა გულისხმობს სიმრავლის ქვესიმრავლეების არსებობას. ანუ, როდესაც ვამბობთ, რომ სივრცე {S, T} არის ტოპოლოგიური სივრცე, ვგულისხმობთ, რომ T არის S სიმრავლის ქვესიმრავლეების სიმრავლე, ისეთი, რომ რაღაცა და რაღაცა.. (ანუ ისეთნაირად აგებული, რომ აკმაყოფილებს გარკვეულ პირობებს, ანუ ტოპოლოგიის განმარტებას).

მეტრიკული სტრუქტურა გულისხმობს ისეთ სივრცეს, რომელშიც აზრი აქვს მანძილზე საუბარს. მაგალითად, ჩვენ ყველამ ვიცით რიცხვითი ღერძი, ნამდვილ რიცხვთა სივრცე მეტრიკულია, რადგან არსებობს ნებისმიერ ორ წერტილს შორის მანძილი. მეტრიკულ სივრცესაც თავისი პირობები და მახასიათებლები აქვს, ისევე როგორც ტოპოლოგიას, და ნებისმიერ სტრუქტურას.

დალაგება: როდესაც ვამბობთ, რომ სივრცეში {S, D} არსებობს დალაგების სტრუქტურა, ვგულისხმობთ, რომ S სიმრავლის ნებისმიერ ორ a და b ელემენტს შორის არსებობს კავშირი: a<b ან a>b ან a=b.

მაგალითად, ნამდვილ რიცხვთა სივრცეში არსებობს დალაგების სტრუქტურა, რადგან ნებისმიერი ორი რიცხვისთვის სამართლიანია ზემოთ მოცემული კავშირის 3 ვარიანტიდან ერთ-ერთი.

არსებობს სხვა და სხვა ალგებრული სტრუქტურები, და ა.შ. ცხადია, ვერ ჩამოვთვლი დაწვრილებით ყოველ მათგანს (უმრავლესობას არც ვიცნობ).

მათემატიკის სივრცე შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ, როგორც ელემენტების რაიმე სისტემა, სადაც ყოველ ელემენტს აქვს თავისი ფუნქცია და ადგილი. კერძოდ კი, თუ ვსაუბრობთ უსტრუქტურო სივრცეზე (ესეიგი სიმრავლეზე), მაშინ არ არსებობს არავითარი სისტემურობა, ანუ არ არსებობს ფუნქციური განსხვავებები ელემენტებს შორის. მაგრამ, როგორც კი სტრუქტურა შემოდის, მაშინ სიმრავლის ყველა ელემენტი ინდივიდუალური ფუნქციის მატარებელი ხდება.

ქვესივრცე

დაუშვათ {S, D} არის რაიმე მათემატიკური სივრცე. ამ სივრცის ქვესივრცე ეწოდება წყვილს {A, D}, თუ A სიმრავლე არის S სიმრავლის რაიმე ისეთი ქვესიმრავლე, რომელსაც იგივე D სტრუქტურა გააჩნია, ანუ ისიც სივრცეა.

ალბათ ქვესიმრავლე რას ნიშნავს ყველას გვესმის. ეს არის სიმრავლის ზოგიერთი ელემენტის სიმრავლე. მაგალითად, თუ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ეს სიმრავლეა, მაშინ მისი ერთ-ერთი ქვესიმრავლეა {2, 3, 5}.

როდესაც საუბარია ქვესივრცეზე, ავტომატურად ჩნდება შეკითხვა: მოცემული სივრცის ქვესივრცეს ქმნის მოცემული S სიმრავლის ყველა ქვესიმრავლე, თუ მხოლოდ ზოგიერთი მათგანი?

ამ შეკითხვას არ აქვს ცალსახა პასუხი. ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება ყველა ქვესიმრავლე ქმნიდეს, ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება არცერთი ქვესიმრავლე არ ქმნიდეს, ანუ ქვესივრცე არ გააჩნდეს მოცემულ სივრცეს. თუმცა, ყველაზე გავრცელებული შემთხვევაა (იქიდან, რასაც მე ვიცნობ) რამდენიმე ქვესივრცის ან ქვესივრცეთა რამდენიმე კლასის არსებობა.

რაზეა ეს დამოკიდებული? ცხადია, თავად სივრცის სტრუქტურაზე. გააჩნია სტრუქტურას. თავად სტრუქტურის სახე გვეტყვის იმას, სიმრავლის რომელი ქვესიმრავლეები ქმნიან სივრცეს.

უფრო რომ დავკონკრეტდეთ, როდესაც განვმარტავთ სივრცეს, ესეიგი სიმრავლეს და სტრუქტურას, ავტომატურად სიმრავლის ყველა ელემენტს ეძლევა საკუთარი როლი სისტემაში. საკითხი დგას ასე: არსებობს თუ არა ამ სიმრავლეში ისეთი ქვესიმრავლე, რომელიც ქმნის იმავე სისტემას? ელემენტების ფუნქციები არ იცვლება, ხოდა ასეთ პირობებში არსებობს თუ არა ისეთი ქვესიმრავლე, რომელსაც შეგვიძლია იგივე სისტემა ვუწოდოთ, რაც თავად ამ სივრცეს ვუწოდეთ, ანუ უნდა აკმაყოფილებდეს სივრცის იმავე სტრუქტურის განმარტებას და პირობებს.

მაგალითისთვის განვიხილოთ ასეთი სივრცე {Z, +}, რომელსაც ჯგუფს უწოდებენ. აქ Z არის მთელ რიცხვთა სიმრავლე, ხოლო „+“ არის მიმატების ორ ადგილიანი ოპერაცია, ისეთი, რომ:

1: Z სიმრავლის ნებისმიერი ორი ელემენტისთვის, მათი ჯამი ასევე Z სიმრავლის ელემენტს გვაძლევს. მაგალითად, ავიღოთ Z სიმრავლის რაიმე ორი ელემენტი 3 და -5. მათი ჯამი, ესეიგი 3 + (-5) არის -2, რაც ასევე წარმოადგენს Z სიმრავლის ელემენტს. სხვაგვარად რომ ვთქვათ: Z სიმრავლე ჩაკეტილია თავის თავში მიმატების ოპერაციით.

2: ნებისმიერი ელემენტისთვის Z სიმრავლიდან არსებობს ერთი ისეთი ელემენტი, რომელთა ჯამიც გვაძლევს ნეიტრალურ ელემენტს - ნულს. მაგალითად, 8-ისთვის არსებობს -8, ხოლო მათი ჯამი არის ნული 8 + (-8) = 0.

3: ნებისმიერი ელემენტისთვის Z სიმრავლიდან, ამ ელემენტის და ნულის ჯამი არის იგივე ელემენტი. მაგალითად 16+0=16.

ეს სამი პირობა არის ჯგუფის განმარტება, და ცხადია, Z სიმრავლის გარდა არსებობს სხვა უამრავი სახის ჯგუფი (მათ შორის არა რიცხვობრივიც). თუმცა, ჩვენ ვიცნობთ Z სიმრავლეს კარგად, ამიტომაც მაგალითსთვის ეს განვიხილოთ.

ამრიგად, გვაქვს ასეთი სივრცე. გვაინტერესებს, არსებობს თუ არა ამ სივრცისთვის ქვესივრცე. როგორ ვეძებთ ქვესივრცეს? - ვეძებთ Z სიმრავლის ისეთ ქვესიმრავლეს, რომელიც თავადაც წარმოადგენს იმავე სივრცეს, ანუ ჯგუფს.

ასეთი ქვესიმრავლე არსებობს, და ეს არის ლუწ რიცხვთა სიმრავლე: {... -4, -2, 0, 2, 4, ..} და ა.შ. მართლაც, შევამოწმოთ, რომ ეს არის იგივე სივრცე. როგორ ვამოწმებთ ამას? უნდა შევამოწმოთ, აკმაყოფილებს თუ არა ჯგუფის განმარტებას, ანუ იმ სამ პირობას, ზემოთ რომ დავწერეთ.

მართლაც, 1-ლი პირობა სრულდება, რადგან ნებისმიერი ორი ლუწი რიცხვის ჯამი ასევე ლუწი რიცხვია (ანუ, ჩაკეტილია თავის თავში ლუწობა ამ მიმატების ოპერაციის მიმართ).

მე-2 პირობაც სრულდება, რადგან ნებისმიერი ლუწი რიცხვისთვის არსებობს შებრუნებული რიცხვი, და მათი ჯამი არის 0. მაგალითად 10 და -10.

მე-3 პირობაც სრულდება, რადგან 0-ის მიმატება ნებისმიერ რიცხვთან გვაძლევს იმავე რიცხვს (და, ცხადია ეს ეხება ლუწ რიცხვებსაც).

მაშასადამე, Z სიმრავლის ქვესიმრავლე - ლუწ რიცხვთა სიმრავლე - არის ჯგუფი, ამიტომ ლუწ რიცხვთა სიმრავლე წარმოადგენს Z-ის სივრცის ქვესივრცეს. ამ კონკრეტულ შემთხვევაში კი, რაკიღა ამ სივრცეს ჯგუფი ეწოდება, ქვესივრცეს შეგვიძლია ქვეჯგუფი ვუწოდოთ.

შენიშნეთ, რომ Z სიმრავლის სხვა ქვესიმრავლე - კენტ რიცხვთა სიმრავლე არ წარმოადგენს ჯგუფს. საკმარისია შევამოწმოთ პირველივე პირობა: ორი კენტი რიცხვის ჯამი აღარ არის კენტი, არამედ ლუწია. ანუ, კენტობა არ არის ჩაკეტილი თავის თავში მიმატების ოპერაციით. (ჯგუფი რომ იყოს, ჩაკეტილი უნდა იყოს)

აი თქვენ „საშინაო დავალებაც“: დაამტკიცეთ (ანუ შეამოწმეთ), რომ Z სიმრავლის ასეთი ქვესიმრავლე - nZ არის ჯგუფი, ანუ Z-ის ქვეჯგუფია. nZ-ში იგულისხმება რაიმე კონკრეტული მთელი რიცხვის ჯერადი რიცხვები. მაგალითად, ავიღოთ „3“, და მაშინ ეს სიმრავლე იქნება ასეთი {3, -3, 6, -6, 9, -9, ..}. ან ავიღოთ „4“, და მაშინ ეს სიმრავლე იქნება {4, -4, 8, -8, 12, -12, 16, -16, ..}. და ა.შ. აჩვენეთ, რომ ასეთი ქვესიმრავლეები ქმნიან ქვეჯგუფებს.

ეს მეთოდი გამოიყენება, ფაქტობრივად, ნებისმიერი სივრცის შემთხვევაში. თუ ჩვენ გვაინტერესებს სივრცის შესაბამისი სიმრავლის რომელიმე კონკრეტული ქვესიმრავლე ქმნის თუ არა იმავე სივრცეს, უნდა შევამოწმოთ სრულდება თუ არა მოცემული სივრცის განმარტება ამ ქვესიმრავლისთვის, ანუ სრულდება თუ არა ის პირობები, რომლითაც მოცემული სივრცე განვმარტეთ. თუ ყველა სრულდება, მაშინ მოცემული ქვესიმრავლე ქმნის იმავე ტიპის სივრცეს, ანუ მოცემული სივრცის ქვესივრცეს.

როგორც აღვნიშნეთ, ქვესიმრავლის ქვესივრცობა დამოკიდებულია თავად სტრუქტურაზე, ანუ სიმრავლის ელემენტების ფუნქციებზე მოცემულ სივრცეში. განვიხილოთ უსტრუქტურო სივრცე, ანუ სიმრავლე. ვინაიდან სიმრავლეში არ არსებობს სტრუქტურა, ამიტომაც შეზღუდვა არ გვაქვს და მისი ნებისმიერი ქვესიმრავლე წარმოადგენს ნამდვილად ქვესიმრავლეს. თითქოს რა ტრივიალური წინადადება ვთქვი, მაგრამ ამით ის ვიგულისხმე, რომ სიმრავლეში პირობები არ მაქვს, და შესაბამისად მის ნებისმიერ ქვესიმრავლეს ეწოდება ქვესივრცე, ანუ იგივე ქვესიმრავლე (რადგან სტრუქტურა არ გვაქვს, სივრცე და სიმრავლე ერთი და იგივე ხდება ამ შემთხვევაში). მაგრამ, საკმარისია სტრუქტურა შემოვიტანოთ, რომ ქვესივრცე დაერქმევა მხოლოდ გარკვეული კატეგორიის ქვესიმრავლეებს, იმათ, რომლებიც აკმაყოფილებენ მოცემული სტრუქტურის განმარტებას და პირობებს.

მოკლედ, ქვესივრცე არის სივრცის ისეთი ქვესიმრავლე, რომელიც თავადაც სივრცეა.

გასართობი მაგალითები:

სივრცე-ქვესივრცის იდეის დაჭერისთვის სასარგებლოა რაიმე საყოფაცხოვრებო ანალოგიის მაგალითად მოტანა. იმედი მაქვს, მათემატიკოსები არ გამინაწყენდებიან, ასეთი, ერთი შეხედვით, არაადექვატური მაგალითისთვის. თუმცა, მე არაადექვატურად არ მივიჩნნევდი ამ მაგალითს, რადგან მათემატიკას სწორედ იმისთვის ვსწავლობთ, რათა რეალურ ცხოვრებაში და პრაქტიკაში გამოვიყენოთ.

მოკლედ, განვმარტოთ საყოფაცხოვრებო სივრცე ასეთნაირად: საყოფაცხოვრებო სივრცეში უნდა არსებობდეს მინიმუმ ერთი ოთახი, მინიმუმ ერთი ლოგინი, და მინიმუმ ერთი სველი წერტილი.

თუ ჩვენ ავიღებთ გაერთიანებას შემდეგი სიმრავლეებისა: ოთახები, ლოგინები, სველი წერტილები. მაშინ, ეს სიმრავლე, განმარტების თანახმად, იქნება საყოფაცხოვრებო სივრცე. მოდი, უფრო დავკონკრეტდეთ, და ვთქვათ, რომ გვაქვს 15 ოთახი, 19 ლოგინი, და 12 სველი წერტილი.

შეკითხვა: ამ სიმრავლის რომელი ქვესიმრავლეები ქმნიან საყოფაცხოვრებო სივრცეს, ანუ საყოფაცხოვრებო ქვესივრცეს? პასუხს ვეძებთ, როგორც ყოველთვის, საყოფაცხოვრებო სივრცის განმარტების მიხედვით.

მაგალითად, თუ ჩვენ ავიღებთ ამ სამი სიმრავლის გაერთიანებით მიღებული სიმრავლიდან ასეთ ქვესიმრავლეს: 12 ოთახი და 3 ლოგინი, მაშინ ეს არ იქნება ქვესივრცე, რადგან არ შედის მასში არცერთი სველი წერტილი. მაგრამ, თუ ჩვენ ავიღებთ ასეთ ქვესიმრავლეს: 10 ოთახი, 11 ლოგინი და 1 სველი წერტილი, მაშინ ეს უკვე იქნება საყოფაცხოვრებო სივრცე, რადგან განმარტების თანახმად, მინიმუმ ერთი მაინც უნდა შედიოდეს სამივე სიმრავლიდან.

ახლა განვიხილოთ სხვა ტიპის მაგალითი:

წარმოიდგინეთ, რომ ფურცელზე დახატეთ რაიმე ორნამენტები. ახლა დააყენეთ ეს ფურცელი სარკის მართობულად, და თქვენ დაინახავთ მის სიმეტრიულ გამოსახულებას, ხოლო სიმეტრიის ღერძი იქნება სარკე. ანუ, თქვენ გაქვთ სიმეტრიული ორნამენტი, ისეთი, რომ ამ ღერძზე „გადაკეცვის“ შემთხვევაში ეს ორი გამოსახულება თავსებადი გახდება, ანუ ერთმანეთზე დაიდება.

მოდი სიმეტრიული სივრცე ვუწოდოთ ისეთ სიმეტრიულ ორნამენტებს, რომელთაც გააჩნიათ სიმეტრია რაიმე ფიქსირებული ღერძის მიმართ. შეკითხვა: აქვს თუ არა ამ სივრცეს ქვესივრცეები, და თუ აქვს, რომელია?

ცხადია, აქვს. ამ სიმეტრიული ორნამენტის ნებისმიერ ზომაზე ერთნაირი ჩამოჭრა მარჯვენა და მარცხენა მხრიდან გვაძლევს ასევე სიმეტრიულ ორნამენტს, რომელსაც სიმეტრია აქვს იმავე ფიქსირებული ღერძის მიმართ. მაშასადამე, სტრუქტურა იგივეა.

ქვესივრცის ყველაზე ტრივიალური შემთხვევაა, როდესაც მთელს ორანმენტს ჩამოვჭრით ორივე მხარეს, და დავტოვებთ მხოლოდ სიმეტრიის ღერძს. ესეც ქვესივრცეა, რადგან სიმეტრიის ღერძის ორივე მხარეს სიცარიელეა, ანუ მაინც ერთნაირი „სტრუქტურაა“ ორივე მხარეს. ანუ სიმეტრია მაინც სრულდება. ეს არის ყველაზე ტრივიალური ქვესივრცე, როდესაც მხოლოდ სიმეტრიის ღერძი გვაქვს.

მაგრამ, თუ ჩვენ სიმეტრიულ ორნამენტს მხოლოდ ერთ მხარეს ჩამოვჭრით, მაგალითად, მაშინ ვეღარ მივიღებთ სიმეტრიის სტრუქტურას, არამედ რაღაც სხვა სტრუქტურას. ანუ, ეს აღარ იქნება სიმეტრიული ქვესივრცე.

კიდევ ერთი მაგალითი: განვიხილოთ ჭადრაკის ფიგურების სიმრავლე. ვინც იცნობთ კლასიკურ ჭადრაკს, გეცოდინებათ, რომ სულ არის 16 ფიგურა: მეფე, ლაზიერი, 2 ეტლი, 2 მხედარი, 2 კუ და 8 პაიკი. ფიგურების სიმრავლეს ვუწოდოთ თამაშ-უნარიანი (თ-უ), თუ ფიგურებში არის „მეფე“ და მინიმუმ ერთი ნებისმიერი ფიგურა.

16 ფიგურა ქმნის თ-უ სტრუქტურას. შეკითხვა: 16 ფიგურის რომელი ქვესიმრავლეები ქმნიან თ-უ სტრუქტურას? ცხადია, ეს არის წყვილები: „მეფე“ და სხვა ნებისმიერი ფიგურა. ეს არის სამეულები: „მეფე“ და სხვა ნებისმიერი ორი ფიგურა. ოთხეულები: „მეფე“ და სხვა ნებისმიერი სამი ფიგურა, და ა.შ. მრავალი ვარიანტია.

მაგრამ, თ-უ ქვესივრცეს ვერ შექმნის მაგალითად წყვილი: „დედოფალი“ და „ცხენი“, რადგან არ სრულდება თ-უ-ის პირობა, ანუ არ არის „მეფე“. ვგონებ გასაგებია ეს თემა..

ცხადია, ეს გასართობი მაგალითები იმისთვის მოვიგონე, რათა ნათელი გამხდარიყო სივრცე-ქვესივრცის იდეა. მაგრამ, მათემატიკაში ნამდვილად არ შეხვდებით ლოგინებისა და ოთახების სიმრავლეს, და არც ორნამენტებს (თუმცა, ეს უკანასკნელი სხვა სახით შეიძლება არსებობდეს).

თუ თქვენ მოისურვებთ ნამდვილი მათემატიკური სივრცე შექმნათ, მაშინ, ის ფანტაზიორობა, რასაც ახლა მე ვაკეთებ ამ მაგალითებში, არ გამოდგება. ამას მხოლოდ იმისთვის ვაკეთებ, რომ ზოგადი იდეა გავიგოთ. თორემ, რეალური მათემატიკური სივრცე, თუმცაღა კი ის არის, რაზეც ზემოთ ვსაუბრობ, მაგრამ, განსხვავება არის თავად მათემატიკის არსში - მკაცრი ლოგიკის გარეშე შეუძლებელია რაიმე მათემატიკური დარგის წაკითხვა-გააზრება, ან ახლის შექმნა.

ფანტაზია აუცილებელი კომპონენტია, მაგრამ ლოგიკა არანაკლებ აუცილებელია. როგორც წინათ აღვნიშნე, მათემატიკა წარმოადგენს (ჩემი გადმოსახედიდან) ფანტაზია-ლოგიკის სინთეზს. ახლა რასაც ვაკეთებდი ამ მაგალითებში, მხოლოდ ფანტაზიორობაა და ზედაპირული ლოგიკა. მაგრამ, ჭეშმარიტ მათემატიკაში (როგორც ოფიციალურ მეცნიერებაში) ლოგიკა მკაცრია და თავისი აბსოლუტურად განსაზღვრული სტრუქტურა აქვს.

ასე რომ, თუ გადაწყვეტთ მათემატიკის სიღრმისეულ შემეცნებას, პირველ რიგში დაეუფლეთ ლოგიკას, ხოლო შემდგომ უკვე მათემატიკის კონკრეტული დარგების სწავლა-შემოქმედებას.. ახლა კი, თქვენის ნებართვით, გავაგრძელებ მათემატიკის სისტემის აღწერას:

ასახვა

დაუშვათ {A} და {B} არის რაიმე ორი სიმრავლე. ასახვა A სიმრავლიდან B სიმრავლეში ეწოდება ისეთ შესაბამისობას, როცა A სიმრავლის ყოველ ელემენტს შეესაბამება B სიმრავლიდან ერთადერთი ელემენტი.

მოდი დროებით შევეშვათ სივრცეებს, და განვიხილოთ მხოლოდ სიმრავლეები (უსტრუქტურო სივრცეები).

ამრიგად, გვაქვს ორი სიმრავლე. ასახვა A სიმრავლიდან B სიმრავლეში გულისხმობს, რომ A სიმრავლის თითოეული ელემენტი გადადის B სიმრავლის ერთადერთ ელემენტში. არ გეგონოთ, რომ A სიმრავლის ყოველი ელემენტი გადადის B სიმრავლის მხოლოდ ერთ-ერთ კონკრეტულ ელემენტში. არა, აქ იგულისხმება, რომ A სიმრავლის თითოეული ელემენტი გადადის მხოლოდ ერთადერთ ელემენტში, და არა ორში, ან სამში, და ა.შ.

მაგალითისთვის, იყოს A სიმრავლე ასეთი - {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, ხოლო B სიმრავლე იყოს ასოების სიმრავლე - {ა, ბ, ც}. ხოლო ასახვა აღვნიშნოთ ისრით ->.

1 -> ა

2 -> ბ

3 -> ბ

4 -> ა

5 -> ბ

6 -> ა

7 -> ბ

არის თუ არა ეს ასახვა? არის, რადგან A სიმრავლის ყოველი ელემენტი გადადის B სიმრავლის მხოლოდ ერთ ელემენტში. პირიქით არ იქნება ასახვა, რადგან „ა“ ელემენტს შეესაბამება სამი ცალი ელემენტი A სიმრავლიდან, და „ბ“ ელემენტს შეესაბამება ოთხი ცალი ელემენტი A სიმრავლიდან. მაგრამ A-დან B-ში ასახვა არსებობს.

A -> B

ეს ნამდვილად არის ასახვა. შენიშნეთ, რომ ერთის მხრივ, B სიმრავლის ყველა ელემენტი არ მონაწილეობს ასახვაში (მაგალითად, „ც“ ელემენტი არ მონაწილეობს). ანუ, არ არის აუცილებელი, რომ ასახვაში მონაწილეობდეს ანასახი სიმრავლის ყველა ელემენტი (ამ შემთხვევაში, B სიმრავლეს შეგვიძლია ვუწოდოთ ანასახი სიმრავლე). სხვათაშორის, არც A სიმრავლისთვის გვაქვს შეზღუდვა. ანუ, არ არის აუცილებელი, რომ A სიმრავლის ყოველი ელემენტი მონაწილეობდეს ასახვაში (ამ კონკრეტულ მაგალითში ყველა მონაწილეობს).

მეორეს მხრივ, B სიმრავლის ის ელემენტები, რომლებიც მონაწილეობენ ასახვაში, მეორდებიან რამდენჯერმე. ესეიგი, არც ამ მხრივ გვაქვს შეზღუდვა. ასახვა იქნება ის შემთხვევაც, როდესაც A სიმრავლის ყოველი ელემენტი გადავა მხოლო ერთ-ერთ კონკრეტულ ელემენტში, მაგალითად „ბ“-ში. რადგან, ეს არ ეწინააღმდეგება ასახვის განმარტებას.

ერთადერთი შეზღუდვა, რაც ამ შესაბამისობას აქვს, არის ის, რომ A სიმრავლის ყოველი ელემენტი გადავა მხოლოდ ერთ ელემენტში, და არა მეტში. მაგალითად, „1“ ვერ გადავა ერთდროულად „ა“-ში და „ბ“-ში, მაშინ ეს ასახვა ვეღარ იქნება.

ახლა განვმარტოთ კომპოზიცია:

დაუშვათ {A}, {B} და {C} რაიმე სიმრავლეებია. დაუშვათ f არის ასახვა A სიმრავლიდან B სიმრავლეში. აღვნიშნოთ ეს A-f-B. და დაუშვათ g არის ასახვა B სიმრავლიდან C სიმრავლეში. აღვნიშნოთ ეს B-f-C. მაშინ კომპოზიცია A-f-B-g-C არის ასახვა A სიმრავლიდან C სიმრავლეში, რაც სრულდება ტრანზიტულად, ანუ ეტაპობრივად: ჯერ A სიმრავლის ყოველი ელემენტი გადადის B სიმრავლის თითო ელემენტებში, და შემდგომ B სიმრავლის ის ელემენტები, რომელშიც A სიმრავლის ელემენტები გადმოვიდნენ, გადადიან ასევე C სიმრავლის თითო ელემენტში.

ცხადია, კომპოზიცია განზოგადდება სიმრავლეების ნებისმიერ რაოდენობაზე..

ცხადია, ორ სიმრავლეს შორის შეიძლება არსებობდეს რამდენიმე ასახვა. მთავარია, ერთი სიმრავლის ყოველი ელემენტი (რომელიც ასახვაში მონაწილეობს) გადავიდეს მეორე სიმრავლის ერთადერთ ელემენტში. ასეთი ვარიანტები კი ბევრია, და რაც მეტია სიმრავლეებში ელემენტების რაოდენობა, მით უფრო მეტია ასახვების შესაძლო ვარიანტები.

ახლა კი განვიხილოთ კერძო შემთხვევები:

მაგალითად, ავიღოთ რაიმე სიმრავლე და თავის თავში გადავსახოთ A -> A (ვუწოდოთ ამას თვითასახვა). ცხადია, ამ შემთხვევაშიც თვითასახვის ვარიანტების რაოდენობაც მრავალია. მაგალითად, თუ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, მაშინ თვითასახვის ერთ-ერთი ვარიანტი იქნება:

1 -> 2

2 -> 2

3 -> 6

4 -> 1

6 -> 6

ეს თვითასახვაა, ანუ ასახვაა, რადგან ყოველი ელემენტი გადავიდა ერთადერთ ელემენტში. ამასთან, ასახვაში არ მონაწილეობს სიმრავლის ყველა ელემენტი ერთ მხარესაც და მეორე მხარესაც (მაგრამ, როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ეს მაინც იქნება ასახვა). აი ასეთი მრავალფეროვანი ვარიანტები არსებობს ასახვებში, თუნდაც ორი ფიქსირებული სიმრავლისთვის.

ახლა განვიხილოთ თვითასახვის ერთ-ერთი კერძო შემთხვევა - იგივური ასახვა. ეს გულისხმობს, რომ ყველა ელემენტი გადადის ზუსტად თავის თავში. ანუ:

1 -> 1

2 -> 2

3 -> 3

....

ამას იგივურ ასახვას უწოდებენ. ახლა კი განვიხილოთ ბიექცია:

დაუშვათ {A} და {B} არის რაიმე ორი სიმრავლე. დაუშვათ f არის ასახვა A-დან B-ში A-f-B, და g არის ასახვა B-დან A-ში B-g-A. ცხადია, ამ ორი ასახვის კომპოზიცია, ანუ A-f-B-g-A არის იგივე A სიმრავლე. ანუ ამ ორი ასახვის კომპოზიცია გვაძლევს A სიმრავლის თვითასახვას.

კერძო შემთხვევაში, თუ ეს თვითასახვა არის იგივური ასახვა, მაშინ f ასახვას ეწოდება ბიექცია. ეს კი ხდება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როცა A და B სიმრავლის ელემენტების რაოდენობა ერთი და იგივეა.

მართლაც, თუ A სიმრავლე საბოლოოდ თავის თავში გადადის, და თანაც იგივურად, მაშინ აუცილებელია, რომ B სიმრავლის ელემენტების რაოდენობა ზუსტად ემთხვეოდეს A სიმრავლის ელემენტთა რაოდენობას. ამ შემთხვევაში, f და g ასახვები ურთიერთშებრუნებულია, და ერთი-ერთზე ასახვებია.

ანუ, A სიმრავლის ელემენტები გადადიან B სიმრავლის ელემენტებში ისე, რომ ყოველ მათგანში გადადის ერთი და მხოლოდ ერთი ელემენტი A-დან. აი ასეთ შემთხვევაში არის შესაძლებელი, რომ შებრუნებულ ასახვასთან კომპოზიციამ მოგვცეს იგივური ასახვა A-ში.

ასეთ ასახვას, რომელიც ერთი-ერთზეა სიმრავლეებს შორის, ეწოდება ბიექცია, და ეს სრულდება მხოლოდ მაშინ, როცა სიმრავლეების ელემენტთა რაოდენობა ერთი და იგივეა. ცხადია, თუ f ბიექციაა, მაშინ მისი შებრუნებული ასახვაც (ამ შემთხვევაში g) ასევე ბიექციაა, რადგან ბიექცია სიმეტრიულია სიმრავლეებისთვის.

ამ ყოველივეს შემდგომ, ჩნდება ასეთი იდეა: მოდი სიმრავლეები დავყოთ ბიექციურ კლასებად. ესეიგი, ერთი და იგივე რაოდენობა ელემენტიანი სიმრავლეები მოვაქციოთ ერთ კლასში. ანუ, ერთ კლასში მოვაქციოთ ისეთი სიმრავლეები, რომლებიდანაც ნებისმიერ ორს შორის შესაძლებელია ბიექციის დამყარება.

ცხადია, ბიექციურ კლასებს დაახასიათებს რიცხვი - სიმრავლეში ელემენტების რაოდენობა. მაგალითად, ორი 5 ელემენტიანი სიმრავლე ერთ კლასში მოხვდება, რადგან მათ შორის ბიექცია დამყარებადია. ხოლო, 5 და 6 ელემენტიანი სიმრავლეები სხვა და სხვა კლასებში მოხვდებიან, რადგან ბიექცია მათ შორის ვერ დამყარდება.

ამრიგად, სიმრავლეები დაიყო ბიექციურ კლასებად, და თითოეულ ამ კლასს ახასიათებს რიცხვი - ელემენტების რაოდენობა.

შენიშვნა: არსებობს ისეთი სიმრავლეები, რომელთა ელემენტები დათვლადი არ არის. ასეთ შემთხვევაში შემოდის სხვა აბსტრაქტული „რიცხვები“, რომლითაც ხასიათდება სიმრავლის სიმძლავრე. მაგრამ პრინციპი იგივეა: ორი სიმრავლე ერთ კლასს ეკუთვნის, თუ მათ შორის ბიექცია დამყარებადია. თუმცა, ასეთ შემთხვევებში, ელემენტების რაოდენობაზე საუბარს აზრი არ აქვს. ეს ცოტა სხვა თემაა, და ასე სიღრმეში აღარ წავალ.

რატომ ვილაპარაკე ამდენი სიმრავლეებსა და ასახვებზე? იმიტომ, რომ მომდევნო ნაწილში უნდა ვისაუბრო სივრცეებსა და მორფიზმებზე, რაც იგივე სიმრავლე-ასახვაა, ოღონდ სტრუქტურის გათვალისწინებით. უკვე აღვნიშნე, და ახლაც აღვნიშნავ, რომ ჯერ სიმრავლეთა თეორია უნდა ისწავლო, და შემდგომ უკვე სხვა მათემატიკური დარგები. და ეს ახლაც გამოჩნდა, რადგან, სანამ მორფიზმს განვმარტავდი (სივრცეების მახასიათებელს), მანამ ასახვა უნდა განმემარტა (სიმრავლეების მახასიათებელი).

მორფიზმი

დაუშვათ {A, D} და {B, D} რაიმე მათემატიკური სივრცეებია (საზოგადოდ, სხვა და სხვა A და B სიმრავლეებით, მაგრამ ერთი და იგივე D სტრუქტურით). მორფიზმი {A, D} სივრციდან {B, D} სივრცეში ეწოდება ისეთ ასახვას A სიმრავლიდან B სიმრავლეში, რომელიც ინახავს D სტრუქტურას.

აი ეს არის საკვანძო მომენტი: ინახავს სტრუქტურას. რას ნიშნავს ეს? განვიხილოთ..

თუ გახსოვთ, როდესაც ქვესივრცე განვმარტეთ, ვთქვით, რომ სივრცის არა ყოველი ქვესიმრავლე ქმნის ქვესივრცეს (საზოგადოდ), არამედ მხოლოდ ზოგიერთი ტიპის ქვესიმრავლე. და ეს იმიტომ, რომ სივრცეში არსებობს სტრუქტურა, რომელიც ფუნქციურ სხვაობას აჩენს სიმრავლის ელემენტებს შორის.

აქაც იგივეა: ორ სიმრავლეს შორის შეიძლება უამრავი ასახვა არსებობდეს (ამაში ვგონებ წინა ქვეთავში დავრწმუნდით). მაგრამ, ორ სივრცეს შორის არა ნებისმიერი ასახვა ქმნის მორფიზმს, არამედ მხოლოდ ზოგიერთი მათგანი. და ესეც იმიტომ, რომ სტრუქტურა არსებობს სივრცეში. ხოლო მორფიზმი კი განვმარტეთ, როგორც სტრუქტურის შემნახველი ასახვა, ანუ მორფიზმისთვის სტრუქტურა არსებითია.

სტრუქტურის შენახვა კი გულისხმობს ელემენტების „ფუნქციების“ შენახვას. ანუ, მორფიზმის დროს ხდება არა მარტო ელემენტის გადასვლა სხვა სიმრავლის ელემენტში, როგორც ასახვის დროს, არამედ „ფუნქციის“ გადასვლაც ხდება იმავე „ფუნქციაში“.

მოკლედ, მორფიზმი იგივე ასახვაა, რომელიც პირველი სივრციდან ელემენტს გადასახავს სწორედ ისეთ ელემენტში, რომელსაც იგივე ფუნქცია აქვს მეორე სივრცეში, რომელიც მოცემულ ელემენტს აქვს პირველ სივრცეში.

მაგალითისთვის განვიხილოთ საჭადრაკო სისტემა. ეს მაგალითი ჩვენ უკვე განვიხილეთ ქვესივრცის მაგალითებში, თუმცა ახლა სხვა კუთხით მსურს ამის განხილვა, რითაც, ვფიქრობ, ნათელი გახდება ასახვას და მორფიზმს შორის განსხვავება, და მორფიზმის არსი.

ავიღოთ ერთი საჭადრაკო სისტემა 16 ფიგურით: მეფე, ლაზიერი, 2 ეტლი, 2 მხედარი, 2 კუ და 8 პაიკი. დავარქვათ ამ სივრცეს „პირველი სივრცე“.

ავიღოთ მეორე საჭადრაკო სისტემა 11 ფიგურით: მეფე, ლაზიერი, 2 ეტლი, 1 მხედარი, 2 კუ, 4 პაიკი. დავარქვათ ამ სივრცეს „მეორე სივრცე“.

განვიხილოთ ჯერ ასახვა პირველი სივრციდან მეორეში. ასახვის ძალიან ბევრი ვარიანტი არსებობს. მაგალითად, პირველი სივრციდან „მეფე“ შეიძლება გადავიდეს მეორე სივრცის „ეტლში“, ან „დედოფალი“ გადავიდეს „პაიკში“, და ა.შ. ასახვა მრავალი სახის არსებობს. მაგრამ, მორფიზმი აქედან მხოლოდ ზოგიერთი მათგანია.

ისეთი, რომელიც ინახავს ფუნქციებს. ანუ, „მეფე“ უნდა გადავიდეს „მეფეში“, დედოფალი“ უნდა გადავიდეს „დედოფალში“. „ეტლი“ უნდა გადავიდეს „ეტლში“. ვინაიდან „ეტლი“ 2 ცალია, არ აქვს მნიშვნელობა რომელ „ეტლში“ რომელი გადავა, რადგან ორივეს „ეტლის“ ფუნქცია აქვს. ეს ფაქტი უკვე მორფიზმის არაერთადერთობაზე მიანიშნებს. 8 პაიკი კი შეიძლება გადავიდეს 4 პაიკში უამრავი შესაძლო ვარიანტით.

კომბინატორულად თუ დავთვლით, მორფიზმების რაოდენობა საკმაოდ დიდი გამოდის, მაგრამ კიდევ უფრო დიდია ზოგადად ასახვების რაოდენობა. ვფიქრობ ახლა უკვე გასაგებია მორფიზმის არსი, როგორც სისტემის ასახვის, და არა უბრალოდ სიმრავლის.

ვინაიდან მორფიზმი იგივე ასახვაა (სტრუქტურის გათვალისწინებით), ამიტომაც მისთვის სამართლიანია ყველაფერი, რაც ასახვებისთვის ითქვა. კერძოდ კი, სიმრავლის თვითასახვის ანალოგია აქ იქნება სივრცის თვითმორფიზმი, რაც გულისხმობს მოცემული სივრცის თავის თავში ისეთ ასახვას, რომელიც სტრუქტურას ინახავს.

გარდა ამისა, როგორც სიმრავლეებში იყო თვითასახვის კერძო შემთხვევა - იგივური ასახვა. აქაც, გვექნება იგივური მორფიზმი, რაც გულისმობს სივრცის ასახვას თავის თავში ისეთნაირად, რომ ყოველი ელემენტი ზუსტად თავის თავში გადადის.

სიმრავლეებში გვქონდა ასახვების კომპოზიცია, რაც ასევე ასახვას გვაძლევდა. აქაც გვექნება იგივენაირად მორფიზმების კომპოზიცია, რაც ასევე მორფიზმს გვაძლევს.

უკანასკნელად კი განვიხილოთ ბიექციის ანალოგია სივრცეებში:

დაუშვათ გვაქვს ორი სივრცე, რომელთაც აქვთ ერთი და იგივე სტრუქტურა და რომელთა შესაბამისი სიმრავლეების ელემენტების რაოდენობა ერთი და იგივეა. ცხადია, სიმრავლეთა ენაზე, მათ შორის ბიექცია დამყარებადია (ბიექციას ურთიერთცალსახა ასახვასაც უწოდებენ). ხოლო, თუ ეს ასახვა ისეთი იქნება, რომელიც სტრუქტურას შეინახავს (ელემენტების ფუნქციებს შეინახავს), მაშინ ამ ბიექციურ ასახვას ეწოდება იზომორფიზმი.

ამრიგად, სივრცეებშიც იგივე ხდება - ერთი და იგივე სტრუქტურის მქონე სივრცეები იყოფიან იზომორფულ კლასებად, რაც იგივეა, რომ მათი შესაბამისი სიმრავლეები დავყოთ ბიექციურ კლასებად. შენიშნეთ, რომ ასახვა მორფიზმის კერძო შემთხვევაა უსტრუქტურო სივრცეებში - ანუ სიმრავლეებში. ისევე, როგორც სივრცეების იზომორფულ კლასებად დაყოფის კერძო შემთხვევაა სიმრავლეების ბიექციურ კლასებად დაყოფა (უსტრუქტურო სივრცეების).

რა საჭიროა იზომორფიზმი? ეს ხშირად გამოიყენება ერთი სივრცის მეორეთი ჩანაცვლების მიზნით. მაგალითად, თუ თქვენ მუშაობთ ერთ სივრცეში და ხსნით ამოცანებს ამ სივრცეში. მაგრამ, ზოგიერთი ამოცანა რთულად იხსნება ამ სივრცეში. შეიძლება არსებობდეს ამ სივრცის იზომორფული სხვა სივრცე,  რომელშიც ამოცანები ექვივალენტურია, მაგრამ მათი ამოხსნა უფრო იოლია. ასეთ შემთხვევაში შეიძლება ჩაანაცვლოთ ერთი სივრცე მისი იზომორფული სხვა სივრცით.

იზომორფიზმი ხომ, რაღაც გაგებით, ექვივალენტურობაა. ორი სივრცის შესაბამისი სიმრავლეები ერთი და იგივე „სიდიდისაა“ და სტრუქტურაც ანალოგიური აქვთ. განვიხილოთ იზომორფიზმის რიცხვითი მაგალითი:

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ {Z, +} ჯგუფია, და ასევე ისიც ვიცით, რომ მისი ერთ-ერთი ქვესიმრავლე - ლუწი რიცხვების სიმრავლე, ასევე ჯგუფია. მათ შორის იზომორფიზმი არსებობს, რადგან ორივე სიმრავლის ელემენტთა რაოდენობა უსასრულობაა, ასე რომ მათ შორის ბიექცია დამყარებადია.

როგორ გადავსახოთ Z სიმრავლე მისივე ქვესიმრავლეში - ლუწ რიცხვებში?

მარტივად: 0 გადავიდეს 0-ში, ხოლო ყოველი სხვა რიცხვი Z-დან გადავიდეს 2Z-ში. მაგალითად 5 გადავიდეს 10-ში, -4 გადავიდეს -8 -ში, და ა.შ. ეს ბიექციაა, რადგან Z უსასრულოა. Z რომ სასრული იყოს, მაშინ ბიექცია ვერ დამყარდებოდა Z-სა და 2Z-ს შორის. მაგრამ, რახან უსასრულოა, ამიტომაც ბიექცია არსებობს.

თუ ჩვენ ვისაუბრებდით მხოლოდ სიმრავლეებზე, მაშინ ბიექციური ასახვა უკვე დაგვიმყარებია. მაგრამ, თუ ჩვენ ვისაუბრებთ ჯგუფებს შორის იზომორფიზმზე, აქ უნდა გავითვალისწინოთ ჯგუფის სტრუქტურაც.

ჯგუფის სტრუქტურა გულისხმობს ნეიტრალური ელემენტის არსებობას 0-ის, და ყოველი ელემენტისთვის შებრუნებული ელემენტის არსებობას. ამიტომაც, 0 უნდა გადავიდეს ისევ და ისევ 0-ში, ხოლო ყველა სხვა რიცხვი 2-ზე გამრავლებით გადავა ლუწ რიცხვთა სიმრავლეში.

ამასთან, სტრუქტურის შენახვა გულისხმობს, რომ თუ a და b ეკუთვნიან Z სიმრავლეს და შესაბამისად a+b=c ასევე Z სიმრავლეს ეკუთვნის, მაშინ a და b -ს ანასახი ლუწი რიცხვების ჯამი უნდა გვაძლევდეს იმ ლუწ რიცხვს, რომელიც მიიღება ჯამის ანასახით.

მარტივად რომ ვთქვათ: Z-ის ელემენტთა ჯამის ანასახი იგივე უნდა იყოს რაც ელემენტთა ანასახების ჯამი. მართლაც, ვინაიდან გადასახვა ხდება 2-ზე გამრავლებით, ამიტომ:

a+b=c გადადის 2c-ში.

მეორეს მხრივ, თუ a+b=c, მაშინ 2a+2b=2c.

ანუ, ელემენტთა ჯამის ანასახი იგივეა, რაც ანასახთა ჯამი. ასეთნაირად მყარდება იზომორფიზმი {Z, +}-სა და {2Z, +}-ს შორის. იგივე შეიძლება ითქვას {nZ, +}-ზე, რომელიც თქვენ „საშინაო დავალებად“ გქონდათ, რომ გეჩვენებინათ, რომ ესეც ქვეჯგუფია.

შენიშვნა: თუ A და B სივრცეები იზომორფულია, და B და C სივრცეებიც იზომორფულია, მაშინ ავტომატურად გამოდის, რომ A და C სივრცეებიც იზომორფულია. ეს შედეგი ავტომატურად გამოდის იზომორფიზმის განმარტებიდან, და ამიტომაც იყოფა სივრცეები ექვივალენტობის განცალკევებულ კლასებად, სადაც ექვივალენტურობას განსაზღვრავს იზომორფიზმი (ანუ ექვივალენტური სივრცეები ერთ კლასში ხვდებიან).

ვფიქრობ, ახლა უკვე შეიძლება მათემატიკის კატეგორიებზე საუბარი. თქვენ უკვე წარმოგიდგათ თვალწინ მათემატიკის სისტემა: გვაქვს სივრცეები, ანუ სიმრავლეები რაიმე ერთი და იგივე სტრუქტურით, და მათ შორის არსებობს სტრუქტურის შემნახველი ასახვები - მორფიზმები. ასევე, იზომორფიზმის მიხედვით, ეს სივრცეები შეიძლება კლასებად დავყოთ. მაგრამ, ეს ყველაფერი ხდება ერთი და იგივე სტრუქტურის მქონე სივრცეებში. არადა, სტრუქტურა შეიძლება არსებობდეს უამრავი სახის. აი კატეგორიებად დაყოფა ხდება უკვე სტრუქტურის შინაარსის მიხედვით.

კატეგორიები, ფუნქტორები და „დიდი კატეგორია“

წყვილს {O, M} ეწოდება კატეგორია, სადაც O არის ობიექტების სიმრავლე (ობიექტები პრინციპში იგივე მათემატიკური სივრცეებია), ხოლო M არის მორფიზმები, რომლებიც არსებობენ ობიექტებს (სივრცეებს) შორის. კატეგორია მოიცემა მოცემული სტრუქტურის მიხედვით, რომელიც ობიექტებს (სივრცეებს) აქვთ.

ამრიგად, კატეგორია შეგვიძლია ვუწოდოთ მთელს იმ სისტემას, რაზეც ზემოთ ვსაუბრობდით: გვაქვს მათემატიკური სივრცეები განსაზღვრული სტრუქტურით, გვაქვს სივრცეებს შორის ასახვები და მორფიზმები, და გვაქვს ამ სივრცეების იზომორფულ კლასებად დაყოფა. ეს ყველაფერი არის კატეგორიის შიგნით, ანუ ერთიანდება კატეგორიაში, რომელსაც მოცემული სივრცის კატეგორია ეწოდება.

ცხადია, კატეგორია განისაზღვრება სტრუქტურის შინაარსით. ანუ, ორი სივრცე ერთ კატეგორიას ეკუთვნის, თუ ერთი და იგივე სტრუქტურა გააჩნიათ. კატეგორიის ენაზე, სივრცეებს ობიექტებს უწოდებენ. კატეგორიათა ენა მეტად განზოგადებულია და შეიქმნა მას მერე, რაც მათემატიკურ სივრცეებს საერთო ტენდენცია შეამნჩიეს.

ახლა წარმოიდგინეთ ორი სხვა და სხვა კატეგორია. რას ნიშნავს ეს? იმას, რომ გვაქვს სივრცეები ერთი ტიპის რაიმე სტრუქტურით, და გვაქვს სივრცეები სხვა ტიპის სტრუქტურით. არსებობს თუ არა კავშირი მათ შორის? შესაძლებელია არსებობდეს. კავშირს ორ კატეგორიას შორის ამყარებს ეგრეთწოდებული ფუნქტორი, რომელიც დაახლოებით იმავე როლს ასრულებს კატეგორიებს შორის, რასაც მორფიზმი სივრცეებს შორის.

დაუშვათ {A, M} და {B, M} რაიმე ორი კატეგორიაა. ფუნქტორი F ეწოდება ასახვას ერთი კატეგორიიდან მეორეში ისე, რომ ყოველი ობიექტი {A, M} კატეგორიიდან გადადის {B, M} კატეგორიის ობიექტში, ხოლო ყოველი მორფიზმი {A, M} კატეგორიიდან გადადის {B, M} კატეგორიის მორფიზმში. თანაც ისე, რომ სტრუქტურა ინახება.

ეს განმარტება, ალბათ, მორფიზმის განმარტებას გაგახსენებთ.. რას ნიშნავს, რომ სტრუქტურა ინახება კატეგორიებს შორის?

დაუშვათ გვაქვს ერთი კატეგორია C, რომლის ობიექტებია (სივრცეები) X, Y და Z. ხოლო მორფიზმები მათ შორის არის X-f-Y, Y-g-Z და X-h-Z. ახლა განვიხილოთ F ფუნქტორი ამ კატეგორიიდან D კატეგორიაში. მაშინ ახალი კატეგორიის ობიექტები იქნებიან F(X), F(Y) და F(Z). ხოლო მორფიზმები F(X)-F(f)-F(Y), F(Y)-F(g)-F(Z) და F(X)-F(h)-F(Z).

სტრუქტურის შენახვა იმას გულისხმობს, რომ არ აქვს მნიშვნელობა რა გზით მივალ მაგალითად X-დან F(Y)-ში. ჯერ შემიძლია X-დან f მორფიზმით გადავიდე Y-ში, და შემდგომ F ფუნქტორით გადავიდე F(Y)-ში. ან, ჯერ შემიძლია X-დან F ფუნქტორით გადავიდე F(X)-ში, და შემდგომ F(f) მორფიზმით გადავიდე F(Y)-ში. F ფუნქტორი ისეთი უნდა იყოს, რომ ორივე გზით F(Y)-ში მივიდე.

ვინაიდან, ჩვენ შეგვიძლია (არავინ გვზღუდავს) მრავალი კატეგორია ავიღოთ და მათ შორის ფუნქტორები, რომლებიც კატეგორიების სტრუქტურებს ინახავენ. ამიტომაც, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ კატეგორიები, როგორც ახალი ობიექტები (სივრცეები), ხოლო ფუნქტორები, როგორც მორფიზმები.

„დიდი კატეგორია“ ეწოდება ისეთ კატეგორიას, რომელშიც ობიექტების როლს ასრულებენ კატეგორიები, ხოლო მორფიზმების როლს ასრულებენ ფუნქტორები, ანუ კატეგორიებს შორის ასახვები.

ახლა უკვე შეგვიძლია ჩამოვთვალოთ კატეგორიები. ყველაზე უფრო ტრივიალური კატეგორიაა, როგორც მიხვდებოდით, სიმრავლეთა კატეგორია, რომელშიც ობიექტები არიან სიმრავლეები (უსტრუქტურო სივრცეები), ხოლო მორფიზმები არიან ასახვები სიმრავლეებს შორის.

თუ გვაქვს რაიმე სტრუქტურა, მაშინ შესაბამისი სივრცეები ქმნიან კატეგორიას. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ რამდენი შინაარსის სტრუქტურაც არსებობს, იმდენი შესაბამისი კატეგორია არსებობს, ანუ სივრცეები იყოფვიან კატეგორიებად.

როგორი ტიპის შეიძლება იყოს ფუნქტორი?

თუ ჩვენ ვისაუბრებთ, მაგალითად ფუნქტორზე, რომელიც სიმრავლეთა კატეგორიას ასახავს რაიმე ტიპის სტრუქტურის მქონე სივრცეთა კატეგორიაში, ასეთ ფუნქტორს „შემოქმედი ფუნქტორი“ შეიძლება ვუწოდოთ. ამ ფუნქტორს სიმრავლეთა კატეგორიის ყოველი სიმრავლე გადაჰყავს სივრცეში, ანუ აძლევს სტრუქტურას.

თუ ვისაუბრებთ ფუნქტორზე, რომელიც სივრცეთა კატეგორიას ასახავს სიმრავლეთა კატეგორიაში, ამ ფუნქტორს შეიძლება ვუწოდოთ „დამვიწყებელი ფუნქტორი“, რომელიც ივიწყებს სივრცეების სტრუქტურას, და უბრალოდ შესაბამის სიმრავლეში გადაჰყავს ყოველი სივრცე.

თუ ვისაუბრებთ ფუნქტორზე, რომელიც ორი სხვა და სხვა ტიპის სტრუქტურის მქონე სივრცეების კატეგორიებს აკავშირებს, ცხადია, აქაც სტრუქტურის ჩანაცვლება ხდება. ასე რომ, ფუნქტორი „თავის თავზე იღებს“ სტრუქტურების ცვლილებებს სივრცეებს შორის.

ფუნქტორი შეიძლება არსებობდეს მრავალი სახის. კერძო შემთხვევაში, სიმრავლეთა კატეგორიიდან რომელიმე სივრცეთა კატეგორიში ასახვა შეიძლება ჩავთვალოთ სტრუქტურის შემოქმედ ფუნქტორად. ან პირიქით, სივრცეთა კატეგორიიდან სიმრავლეთა კატეგორიაში გადასხვა შეიძლება ჩავთვალოთ სტრუქტურის დამვიწყებელ ფუნქტორად.

 ეს არის და ეს, მათემატიკის სისტემა ერთ-ერთი ყველაზე ლამაზი მოდელით: კატეგორიათა თეორიის ენაზე.

კატეგორიათა თეორიის მარტივი შეჯამება:

მათემატიკური სივრცე ეწოდება წყვილს {S, D}, სადაც S რაიმე არაცარიელი სიმრავლეა, ხოლო D რაიმე სტრუქტურაა.

დაუშვათ {S, D} არის რაიმე მათემატიკური სივრცე. ამ სივრცის ქვესივრცე ეწოდება წყვილს {A, D}, თუ A სიმრავლე არის S სიმრავლის რაიმე ისეთი ქვესიმრავლე, რომელსაც იგივე D სტრუქტურა გააჩნია, ანუ ისიც სივრცეა.

დაუშვათ {A} და {B} არის რაიმე ორი სიმრავლე. ასახვა A სიმრავლიდან B სიმრავლეში ეწოდება ისეთ შესაბამისობას, როცა A სიმრავლის ყოველ ელემენტს შეესაბამება B სიმრავლიდან ერთადერთი ელემენტი.

დაუშვათ {A}, {B} და {C} რაიმე სიმრავლეებია. დაუშვათ f არის ასახვა A სიმრავლიდან B სიმრავლეში. აღვნიშნოთ ეს A-f-B. და დაუშვათ g არის ასახვა B სიმრავლიდან C სიმრავლეში. აღვნიშნოთ ეს B-f-C. მაშინ კომპოზიცია A-f-B-g-C არის ასახვა A სიმრავლიდან C სიმრავლეში, რაც სრულდება ტრანზიტულად, ანუ ეტაპობრივად: ჯერ A სიმრავლის ყოველი ელემენტი გადადის B სიმრავლის თითო ელემენტებში, და შემდგომ B სიმრავლის ის ელემენტები, რომელშიც A სიმრავლის ელემენტები გადმოვიდნენ, გადადიან ასევე C სიმრავლის თითო ელემენტში.

დაუშვათ {A} და {B} არის რაიმე ორი სიმრავლე. დაუშვათ f არის ასახვა A-დან B-ში A-f-B, და g არის ასახვა B-დან A-ში B-g-A. ცხადია, ამ ორი ასახვის კომპოზიცია, ანუ A-f-B-g-A არის იგივე A სიმრავლე. ანუ ამ ორი ასახვის კომპოზიცია გვაძლევს A სიმრავლის თვითასახვას.

კერძო შემთხვევაში, თუ ეს თვითასახვა არის იგივური ასახვა, მაშინ f ასახვას ეწოდება ბიექცია. ეს კი ხდება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როცა A და B სიმრავლის ელემენტების რაოდენობა ერთი და იგივეა.

დაუშვათ {A, D} და {B, D} რაიმე მათემატიკური სივრცეებია (საზოგადოდ, სხვა და სხვა A და B სიმრავლეებით, მაგრამ ერთი და იგივე D სტრუქტურით). მორფიზმი {A, D} სივრციდან {B, D} სივრცეში ეწოდება ისეთ ასახვას A სიმრავლიდან B სიმრავლეში, რომელიც ინახავს D სტრუქტურას.

დაუშვათ გვაქვს ორი სივრცე, რომელთაც აქვთ ერთი და იგივე სტრუქტურა და რომელთა შესაბამისი სიმრავლეების ელემენტების რაოდენობა ერთი და იგივეა. ცხადია, სიმრავლეთა ენაზე, მათ შორის ბიექცია დამყარებადია (ბიექციას ურთიერთცალსახა ასახვასაც უწოდებენ). ხოლო, თუ ეს ასახვა ისეთი იქნება, რომელიც სტრუქტურასაც შეინახავს (ელემენტების ფუნქციებს შეინახავს), მაშინ ამ ბიექციურ ასახვას ეწოდება იზომორფიზმი.

ამრიგად, სივრცეებში ასეთი რამ ხდება - ერთი და იგივე სტრუქტურის მქონე სივრცეები იყოფიან იზომორფულ კლასებად, რაც იგივეა, რომ მათი შესაბამისი სიმრავლეები დავყოთ ბიექციურ კლასებად. შენიშნეთ, რომ ასახვა მორფიზმის კერძო შემთხვევაა უსტრუქტურო სივრცეებში - ანუ სიმრავლეებში. ისევე, როგორც სივრცეების იზომორფულ კლასებად დაყოფის კერძო შემთხვევაა სიმრავლეების ბიექციურ კლასებად დაყოფა (უსტრუქტურო სივრცეების).

წყვილს {O, M} ეწოდება კატეგორია, სადაც O არის ობიექტების სიმრავლე (ობიექტები პრინციპში იგივე მათემატიკური სივრცეებია), ხოლო M არის მორფიზმები, რომლებიც არსებობენ ობიექტებს (სივრცეებს) შორის. კატეგორია მოიცემა მოცემული სტრუქტურის მიხედვით, რომელიც ობიექტებს (სივრცეებს) აქვთ.

დაუშვათ {A, M} და {B, M} რაიმე ორი კატეგორიაა. ფუნქტორი F ეწოდება ასახვას ერთი კატეგორიიდან მეორეში ისე, რომ ყოველი ობიექტი {A, M} კატეგორიიდან გადადის {B, M} კატეგორიის ობიექტში, ხოლო ყოველი მორფიზმი {A, M} კატეგორიიდან გადადის {B, M} კატეგორიის მორფიზმში. თანაც ისე, რომ სტრუქტურა ინახება.

„დიდი კატეგორია“ ეწოდება ისეთ კატეგორიას, რომელშიც ობიექტების როლს ასრულებენ კატეგორიები, ხოლო მორფიზმების როლს ასრულებენ ფუნქტორები, ანუ კატეგორიებს შორის ასახვები.

ფუნქტორი შეიძლება არსებობდეს მრავალი სახის. კერძო შემთხვევაში, სიმრავლეთა კატეგორიიდან რომელიმე სივრცეთა კატეგორიში ასახვა შეიძლება ჩავთვალოთ სტრუქტურის შემოქმედ ფუნქტორად. ან პირიქით, სივრცეთა კატეგორიიდან სიმრავლეთა კატეგორიაში გადასხვა შეიძლება ჩავთვალოთ სტრუქტურის დამვიწყებელ ფუნქტორად.

ბოლო კომენტარი

თქვენ უკვე იცით, რომ მათემატიკური სივრცე წარმოადგენს სიმრავლეს სტრუქტურითურთ, ასევე იცით, რომ არსებობს ქვესივრცეები და არსებობს სივრცეებს შორის ასახვები (მორფიზმები). იცით, რომ ერთი სტრუქტურის მქონე სივრცეები ერთ კატეგორიაში ერთიანდება, და ასეთნაირად არსებობს სხვა და სხვა კატეგორიები (სხვა და სხვა სტრუქტურების შესაბამისი), და მათ შორის ასახვები - ფუნქტორები.

მაგრამ, უნდა გითხრათ, რომ მათემატიკის სისტემა არც ისეთი იდალურად დალაგებულია, როგორც ახლა წარმოგიდგინეთ. ეს იმიტომ, რომ კატეგორიები ერთმანეთში არეული შეიძლება იყოს. მაგალითად, ერთი კატეგორიის ობიექტები წარმოადგენდნენ მეორე კატეგორიის მორფიზმებს, ან პირიქით. ეს „არეულობის“ მხოლოდ ერთ-ერთი მაგალითია. სინამდვილეში, გაცილებით უფრო რთული სისტემაა მათემატიკა, მაგრამ ერთი შეხედვით ის ასეთ ლამაზ შთაბეჭდილებას ტოვებს, როგორიც ეს-ესაა მოგიყევით.

ყოველი შემთხვევისთვის, თქვენ გეცოდინებათ, რომ ჯერ უნდა ისწავლოთ ლოგიკა, როგორც მათემატიკის წაკითხვის უნივერსალური ენა. შემდგომ სიმრავლეთა თეორია, როგორც ყოველი მათემატიკური დარგის საფუძველი. შემდგომ ტოპოლოგია, როგორც მინიმალური სტრუქტურა სიმრავლეებზე. და ა.შ.

დანარჩენი თქვენს გემოვნებაზეა დამოკიდებული. ცხადია, აქაც არსებობს ნაბიჯები, რა რის შემდეგ სჯობს რომ ისწავლოთ. მაგრამ, ვფიქრობ, თუ ეს საფუძველი ისწავლეთ (ლოგიკა, სიმრავლეები.. ), მაშინ უკვე ორიენტირს თქვენთვითონაც განსაზღვრავთ. მითუმეტეს, რომ უკვე იცნობთ მათემატიკის ზოგად „ჩონჩხს“ და სტილს კატეგორიათა თეორიის მოდელში, რაც უფრო გაგიადვილებთ მათემატიკის სისტემურად ხედვას.

წარმატებებს გისურვებთ!!

გააზიარეთ, თუ მოგეწონათ..