ავტორი: იოანე შენგელია
წარმოიდგინეთ, რომ ერთ ხელში გაქვთ ელემენტი, ხოლო მეორე ხელში გაქვთ საათი. თუ თქვენ ამ ორ ნივთს ერთმანეთთან ვერ აკავშირებთ, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ თქვენ ფლობთ უბრალოდ ორ ნივთს, ანუ თქვენი ფლობის ნივთების სიმრავლე შედგება ორი ობიექტისგან, და მეტი არაფერი.
მაგრამ, თუ თქვენ დაინახავთ კავშირს ამ ორ ელემენტს შორის, და მაგალითად "ჩასვამთ" ელემენტს საათში, მაშინ თქვენს ხელთ იქნება არა უბრალოდ ორი ნივთისგან შექმნილი სიმრავლე, არამედ ერთი მთლიანი სისტემა, რომელიც უკვე ხარისხობრივად აღემატება ცალკე აღებულ ელემენტსაც და საათსაც. ეს აღარ არის ორ ელემენტიანი სიმრავლე, არამედ რაღაც ახალი სისტემაა.
ეს მაგალითი მხოლოდ იმისთვის, რომ წრფივობა-არაწრფივობის თემაში გაერკვეთ. ახლა კი უფრო ოფიციალურად: მარტივად რომ ვთქვათ, წრფივია სისტემა, რომელშიც "ჯამური ეფექტი ეფექტთა ჯამის ტოლია".
ფორმულის სახით რომ ჩავწეროთ, დაუშვათ a, b და c არის რაიმე პროცესები, ხოლო L(a), L(b) და L(c) შესაბამისად მათი ეფექტები (ამ პროცესების შედეგები). და დაუშვათ c=a+b, ანუ c პროცესი წარმოადგენს a და b პროცესების გაერთიანებას, ანუ ერთობლივ პროცესს. ვიტყვით, რომ სისტემა წრფივია, თუ სრულდება ტოლობა:
L(a+b)=L(a)+L(b)
ანუ, პროცესების ჯამური ეფექტი იგივეა რაც თითოეული ამ პროცესის ეფექტების ჯამი. ეს ყველაზე უფრო ზოგადი განმარტებაა წრფივობისა. მათემატიკის სახელმძღვანელოებშიც შეხვდებით ასეთ განმარტებებს: "L ოპერატორს ვუწოდოთ წრფივი, თუ ბლა-ბლა-ბლა.. ეს ფორმულა სრულდება.."
ამის მაგალითები გნებავთ? კიბატონო..
მთელი ნიუტონისეული მექანიკა აგებულია ძალების ვექტორულ თვისებებზე. მიჩნეულია, რომ ძალები წარმოადგენენ ვექტორებს, რომლებიც, თავის მხრივ, წრფივი სისტემაა. უფრო კონკრეტულად: თუ a ძალა სხეულს ანიჭებს რაიმე აჩქარებას სივრცეში ერთი მიმართულებით, ხოლო b ძალა სხეულს ანიჭებს აჩქარებას რაიმე სხვა მიმართულებით, მაშინ ამ ძალების ჯამური ეფექტი სხეულს ანიჭებს აჩქარებას იმ მიმართულებით, რაც წარმოადგენს მოცემული მიმართულებების ვექტორულ ჯამს.
სხვაგვარად რომ ვთქვათ, ძალების ჯამური ეფექტი ასევე ძალაა, რომელსაც ტოლქმედსაც უწოდებენ. თითქოს ეს ასეც უნდა იყოს და ამაში არაფერია გასაკვირი. მაგრამ, სინამდვილეში წრფივი სისტემები წარმოადგენენ რეალობის გაიდეალებულ მოდელს, და ასეთი სისტემები იშვიათია. რეალობაში ვხვდებით მეტად არაწრფივ სისტემებს, განსაკუთრებით კი, როდესაც საქმე გვაქვს მრავალსხეულოვან ამოცანასთან.
წრფივობა ასოცირდება ეფექტების დამოუკიდებლობასთან. ანუ, თუ გვაქვს ორი დამოუკიდებელი პროცესი, კარგი მიახლოვებით ისინი დამოუკიდებლად მოქმედებენ და მათი ჯამური ეფექტიც (შედეგი) წარმოადგენს მათი ცალ-ცალკე ეფექტების (შედეგების) ჯამს. მაგრამ, ეს მხოლოდ ზედაპირული დაკვირვებებით. თუ მიახლოვებების გარეშე ზუსტად ვეცდებით გავარკვიოთ რა ხდება, აღმოვაჩენთ, რომ ჯამური ეფექტი სულაც არ არის წრფივი, ანუ მისი შედეგი სულაც არ არის შედეგების უბრალოდ "ჯამი", არამედ რაღაც სულ სხვაა.
თქვენს კონკრეტულ მაგალითში, ელემენტი და საათი წარმოადგენენ წრფივ სისტემას, თუ მათ შორის კავშირს ვერ ხედავთ და უბრალოდ ორი ობიექტი გიპყრიათ ხელთ, თუმცა ელემენტზე მომუშავე საათი უკვე ახალი დონის სისტემაა, რომელიც სულაც არ წარმოადგენს ელემენტისა და საათის "ჯამს".
ჩვეულებრივ, ჯერ სწავლობენ წრფივი სისტემების სტრუქტურას, და მხოლოდ შემდგომ არაწრფივი სისტემების სტრუქტურას, რადგან ეს უკანასკნელი უფრო მაღალ დონეს წარმოადგენს. ფიზიკური სისტემების მათემატიკური ფორმალიზმი წრფივ სისტემებშიც კი უკვე რთულია, და აღარაა საუბარი არაწრფივი ფიზიკის მოდელირებაზე.
კიდევ ერთი "შტრიხი", რითაც შეგვიძლია წრფივი სისტემა და არაწრფივი სისტემა განვასხვავოთ: ერთი და იგივე პროცესი სხვა და სხვა შედეგებს იწვევს არაწრფივ სისტემაში.
მაგალითად, თუ მცენარის სიმაღლის ზრდა წრფივად არის დამოკიდებული მასზე დასხმულ წყალზე, მაშინ რაც მეტ წყალს დაასხამთ, მით უფრო გაიზრდება. ერთი და იგივე მოცულობის წყალი ერთსა და იმავე სიმაღლეს შემატებს მას. მაგრამ, რეალურად ასე არ ხდება. ჯერ სწრაფად შეიძლება გაიზარდოს, მერე ნელა, მერე სხვა პროცესები განვითარდეს, განზე გაიზარდოს და არა სიმაღლეში და ა.შ.
მაგრამ, წრფივად რომ იყოს დამოკიდებული, მაშინ სიმაღლე წყლის მოცულობის პროპორციული იქნებოდა. რატომ? იმიტომ, რომ წრფივობის ზედა ფორმულაში რომ ჩავსვათ ერთი და იგივე პროცესი მივიღებთ:
L(a+a)=L(a)+L(a)=2L(a)
მივიღებთ ორჯერ მეტ ეფექტს. სხვათაშორის, წრფივი ფუნქცია y=kx, რომელიც გეომეტრიულ წრფეს აღწერს, სწორედ ამ პროპორციულობაზეა დამყარებული, და ამბობს, რომ x-ის ერთი და იგივე ცვლილებისას ვიღებთ y-ის ერთსა და იმავე ცვლილებას. მაგრამ, არაწრფივ ფუნქციებში x-ის ერთი და იგივე ცვლილება იწვევს y-ის სხვა და სხვა ცვლილებას (ეს დამოკიდებულია იმაზე, თუ სად ხდება x-ის ცვლილება).
რეალური სისტემები არაწრფივია და სულაც არ არის ასე მარტივად, ერთი და იგივე პროცესი ერთსა და იმავე შედეგს რომ იძლეოდეს. რეალური სისტემები ძალიან შორს არიან წრფივობისგან. ზოგადად, სისტემის არაწრფივობას და მრავალფეროვნებას განსაზღვრავს მასში შემავალი ელემენტების დიდი რაოდენობა და ფუნქციური სიმრავლე. და რაც უფრო არაწრფივია პროცესი, მით უფრო რთულია მისი მათემატიკური მოდელის შექმნა.
გააზიარეთ თუ მოგეწონათ..
